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在[[數論]]中，'''賦值向量環'''或'''阿代爾環'''（[[法文]]：adèle，英譯多用原文）是由一個[[域 (數學)|域]] <math>F</math> 的所有[[完備化 (環論)|完備化]]構成的拓撲環 <math>\mathbb{A}_F</math>，原域 <math>F</math> 可以對角方式嵌入其中。

在現代[[代數數論]]中，賦值向量環是處理整體問題的基本語言。

法文原文 ''adèle'' 是 ''idèle additif'' 的縮寫，其中 ''idèle'' 意指理想元（''élément idéal''）。adèle 也是法文中常見的女性名字。

==定義==
設 <math>F</math> 為[[整體域]]，例如[[有理數]]域 <math>\mathbb{Q}</math>、一般的[[數域]]或[[函數域]] <math>\mathbb{F}_q(T)</math> 等等。設 <math>\mathcal{O}_F</math> 為其中的[[代數整數]]環。對於所有 <math>F</math> 上的'''[[賦值]]''' <math>v</math>（又稱'''位'''），可定義相應的'''完備化''' <math>F_v</math>。在此，通常將賦值分為有限與無限兩類：
* '''有限賦值'''：一一對應於 <math>\mathcal{O}_F</math> 的[[素理想]]，兩兩不相等價。其中的[[賦值環]]記為 <math>\mathcal{O}_v</math>。
* '''無限賦值'''：<math>F</math> 上的阿基米德賦值。對於數域，無限賦值係由域的嵌入 <math>\alpha: F \to \mathbb{C}</math> 給出，兩個嵌入 <math>\alpha, \beta: F \to \mathbb{C}</math> 給出等價賦值的充要條件是其間至多差一個複共軛：<math>\alpha = \bar{\beta}</math>。無限賦值的個數有限。

有時也以素理想的慣用符號 <math>\mathfrak{p}</math> 表示賦值，並以 <math>\mathfrak{p} \mid \infty</math> 表示 <math>\mathfrak{p}</math> 為無窮賦值。 

定義
: <math>\mathbb{A}_F := {\prod_v}' F_v</math>
上式的積稱為'''限制積'''，這是 <math>\Pi_v F_v</math> 的子環，我們要求對其中的每個元素 <math>(\alpha_v)_v</math>，存在包含所有無窮賦值的有限集 <math>S</math>，使得 <math>v \notin S \Rightarrow \alpha_v \in \mathcal{O}_v</math>。賦予 <math>\mathbb{A}_F</math> 相應的子空間拓撲，是為'''賦值向量環'''。

<math>\mathbb{A}_F</math> 的拓撲由在 <math>0</math> 點的一組[[基 (拓撲學)|局部基]]確定，可取下述形式之開集：
: <math>(\prod_{v \in S} U_v) \times (\prod_{v \notin S} \mathcal{O}_v) </math>
其中 <math>S</math> 是函括所有無限賦值的有限集，<math>U_v \ni 0</math> 是 <math>F_v</math> 的開子集。根據[[吉洪諾夫定理]]可知 <math>\mathbb{A}_F</math> 為[[緊性|局部緊]]拓撲環，這是採限制積定義的原因之一。

==性質==
* 對角嵌入 <math>F \to \Pi_v F_v \quad (\alpha \mapsto (\alpha)_v)</math> 的像落在 <math>\mathbb{A}_F</math>，可證明 <math>F</math> 構成  <math>\mathbb{A}_F</math> 的離散子集，而商群 <math>\mathbb{A}_F/F</math> 是緊群。

* 固定 <math>\mathbb{A}_F</math> 的任一[[特徵標]] <math>\psi \neq 1</math>，則任何特徵標 <math>\psi'</math> 皆可唯一地表示成 <math>\psi'(x) = \psi(ax) \quad (a \in \mathbb{A}_F)</math>，是故加法群 <math>(\mathbb{A}_F,+)</math> 是其自身的[[龐特里亞金對偶性|對偶群]]。這是在賦值向量環上開展[[調和分析]]的關鍵之一。

==應用==
賦值向量環主要用於代數數論中。對於 <math>F</math> 上的[[代數群]] <math>G</math>，可考慮其上的 <math>\mathbb{A}_F-</math>點 <math>G(\mathbb{A}_F)</math>。由於代數群總是線性的（換言之，可嵌入 <math>\mathrm{GL}(n)</math>），<math>G(\mathbb{A}_F)</math> 可以具體設想為係數佈於環 <math>\mathbb{A}_F</math> 上的線性群，並帶有自然的拓撲結構。

最簡單的情形是 <math>G = \mathbb{G}_m</math>，此時 <math>G(\mathbb{A}_F) = \mathbb{A}_F^\times</math> 稱為 idèle 群，這是整體[[類域論]]的基石。在[[郎蘭茲綱領]]中，須考慮更廣泛的代數群，以描述[[數域]]的[[絕對伽羅瓦群]]。

==文獻==
* J. W. S. Cassels, A. Frohlich, ''Algebraic Number Theory''  ISBN 0-12-163251-2

[[Category:代數數論|F]]