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在[[几何学]]中，'''费马点'''是位于[[三角形]]内的一个点。给定一个三角形{{math|△ABC}}的话，从这个三角形的费马点{{math|P}}到三角形的三个[[頂點 (幾何)|顶点]]{{math|A}}、{{math|B}}、{{math|C}}的距离之和
<center><math>PA+PB+PC</math></center>
比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。

费马点问题最早是由[[法国]][[数学家]][[皮埃爾·德·費馬]]在一封写给[[意大利]]数学家[[埃萬傑利斯塔·托里拆利]]（[[气压计]]的发明者）的信中提出的。<ref name="fermat">P. de Fermat,   "Œvres" , I , H. Tannery (ed.), Paris  (1891)  (Supplement: Paris 1922)</ref>托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家[[斯坦纳]]重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为'''托里拆利点'''或'''斯坦纳点'''，相关的问题也被称作'''费马-托里拆利-斯坦纳问题'''。

==源起：费马的问题 ==
1638年，[[勒内·笛卡儿]]邀请[[费马]]思考关于到四个[[頂點 (幾何)|顶点]]距离为定值的函数的问题。这大概也是1643年，费马写信向[[埃萬傑利斯塔·托里拆利]]询问关于费马点的问题的原因<ref name="fermat"/>。费马的问题是这样的：
:平面上有三个不在同一条直线上的点{{math|A, B, C}}，对平面上的另一个点{{math|P}}，考虑点{{math|P}}到原来的三个点的距离之和：{{math|PA + PB + PC}}。是否有这样一个点{{math|P<sub>0</sub>}}，使得它到点{{math|A, B, C}}的距离之和{{math|P<sub>0</sub>A + P<sub>0</sub>B + P<sub>0</sub>C}}比任何其它的{{math|PA + PB + PC}}都要小？
这个问题首先被托里拆利解决，但他生前并没有发表。托里拆利的学生[[温琴佐·维维亚尼]]在1659年将他的遗作整理發表，其中包括了费马点问题的证明<ref name="ob">{{cite book|author=O. Bottema|title=''Selected Topics in Elementary Geometry''|year=2008|publisher=Springer，第2版，插图版|isbn=9780387781310}}</ref>{{rp|124}}。他的解法中用到了椭圆的焦点的性质。<ref>E. Torricelli,   "Opere" , I/2 , Faënza  (1919)  pp. 90–97</ref><ref>E. Torricelli,   "Opere" , III , Faënza  (1919)  pp. 426–431</ref>

== 费马-托里拆利点 ==

托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于每一个角都小于120°的三角形{{math|ABC}}的每一条边为底边，向外作[[正三角形]]，然后作这三个正三角形的[[外接圆]]。托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。这个点因此也叫做托里拆利点。

1647年，[[博納文圖拉·卡瓦列里]]在他的著作《几何学题集》（{{lang|la|''Exerciones Geometricae''}}）中也探讨了这个问题。他发现，将作正三角形时作出的三个点与对面的[[頂點 (幾何)|顶点]]连接，可以得出三条线段。这三条线段交于托里拆利点，而且托里拆利点对每条边张的角都是120°。<ref>{{cite book | title = Shortest connectivity: an introduction with applications in phylogeny | author = Clark Kimberling | year = 2004 | publisher = Springer | isbn = 978-0387235387 }}</ref>

==作法及证明==
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下面是三角形的费马点的作法：
*当有一个内角不小于120°时，费马点为此角对应[[頂點 (幾何)|顶点]]。
*当三角形的内角都小于120°时
**以三角形的每一边为底边，向外做三個[[正三角形]]{{math|△ABC'}}，{{math|△BCA'}}，{{math|△CAB'}}。
**連接{{math|CC'}}、{{math|BB'}}、{{math|AA'}}，则三条线段的交点就是所求的点。<ref name="zx">{{cite journal | url = http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d323/32309.pdf | title = 《費馬一一斯坦勒爾問題與平衡態公理》 | author = 張雄 | journal = 《数學傳播》 | volume = 32 | issue = 3 | pages = 75-79 | deadurl = yes | archiveurl = https://web.archive.org/web/20121119042356/http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d323/32309.pdf | archivedate = 2012-11-19 | access-date = 2010-07-25 }}</ref>

===几何证明===
[[File:Fermat proof.png|thumb|right|300px]]
;三角形的内角都小于120°的情况：
;首先证明{{math|CC'}}、{{math|BB'}}、{{math|AA'}}三条线交于一点。
设{{math|P}}为线段{{math|CC'}}和{{math|BB'}}的交点。注意到三角形{{math|C'AC}}和三角形{{math|BAB'}}是[[全等三角形|全等]]的，三角形{{math|C'AC}}可以看做是三角形{{math|B'AB}}以{{math|A}}点为轴心顺时针旋转60度得到的，所以角<math>\angle \mathrm{C'PB}</math>等于60度，和<math>\angle \mathrm{C'AB}</math>相等。因此，{{math|A}}、{{math|B}}、{{math|C'}}、{{math|P}}[[圆内接四边形|四点共圆]]。同样地，可以证明{{math|A}}、{{math|B'}}、{{math|C}}、{{math|P}}四点共圆。于是：
:<math>\angle \mathrm{APB} = \angle \mathrm{APC} = 120^\circ </math>
从而<math>\angle \mathrm{CPB} = 120^\circ </math>。于是可以得出：{{math|A'}}、{{math|B}}、{{math|C}}、{{math|P}}四点共圆，即
:<math>\angle \mathrm{A'PB} = \angle \mathrm{A'CB} = 60^\circ </math>
:<math>\angle \mathrm{APA'} = \angle \mathrm{APB} + \angle \mathrm{A'PB} = 120^\circ + 60^\circ </math>

{{math|A}}、{{math|A'}}、{{math|P}}三点共线。也就是说{{math|CC'}}、{{math|BB'}}、{{math|AA'}}三条线交于一点。<ref name="zx"/><ref name="moa">{{cite book|author=Radmila Bulajich Manfrino, José Antonio Gómez Ortega, Rogelio Valdez Delgado|title=''Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach''|year=2009|publisher=Springer, 插图版|isbn=9783034600491}}</ref>{{rp|90}} 

;接下来证明交点{{math|P}}就是到三个[[頂點 (幾何)|顶点]]距离之和最小的点。
在线段{{math|AA'}}上选择一点{{math|Q}}，使得{{math|QP}} = {{math|PC}}。由于<math>\angle \mathrm{QPC} = 60^\circ </math>，所以等腰三角形{{math|PQC}}是正三角形。于是<math>\angle \mathrm{PCB} = \angle \mathrm{QCA'} </math>。同时{{math|QC}} = {{math|PC}}、{{math|BC}} = {{math|A'C}}，于是可以得出三角形{{math|BPC}}和三角形{{math|A'QC}}是全等三角形。所以{{math|QA'}} = {{math|PB}}。综上可得出：

:{{math|PA + PB + PC}} = {{math|AA'}}

对于平面上另外一个点{{math|P'}}，以{{math|P'C}}为底边，向下作正三角形{{math|P'Q'C}}。运用类似以上的推理可以证明三角形{{math|BP'C}}和三角形{{math|A'Q'C}}是全等三角形。因此也有：

:{{math|P'A + P'B + P'C}} = {{math|AP' + P'Q' + Q'A'}}
平面上两点之间以直线长度最短。因此

:{{math|P'A + P'B + P'C}} = {{math|AP' + P'Q' + Q'A'  ≥  AA'}} = {{math|PA + PB + PC.}}

也就是说，点{{math|P}}是平面上到点{{math|A}}、{{math|B}}、{{math|C}}距离的和最短的一点。<ref name="zx"/><ref name="ob"/>{{rp|124-125}}

;最后证明唯一性。
如果有另外一点{{math|P'}}使得{{math|P'A + P'B + P'C}} = {{math|PA + PB + PC}}，那么
:{{math|AA'}} = {{math|AP' + P'Q' + Q'A'}}

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因此点{{math|P'}}和{{math|Q'}}也在线段{{math|AA'}}之上。依照{{math|P'}}和{{math|Q'}}的定义，可以推出
:<math>\angle \mathrm{AP'B}  = \angle \mathrm{AP'C} = 120^\circ </math>

因此{{math|P'}}也是{{math|CC'}}、{{math|BB'}}、{{math|AA'}}三条线的交点。因此{{math|P'}}点也就是{{math|P}}点。因此点{{math|P}}是唯一的。<ref name="moa"/>{{rp|92}}

;有一内角大于120°的情况。
如右图， <math>\angle \mathrm{BAC}</math>大于120°，{{math|P}}为三角形内一点。以{{math|BA}}为底边，向上作正三角形{{math|BAF}}；以{{math|PA}}为底边，向上作正三角形{{math|PAQ}}。于是三角形{{math|AQF}}和三角形{{math|APB}}是全等三角形。{{math|FQ}} = {{math|PB}}。所以
:{{math|PA + PB + PC}} = {{math|FQ + QP + PC.}}

延长{{math|FA}}交{{math|QC}}于{{math|D}}点，则
: {{math|FQ + QP + PC  > FQ + QC}} = {{math|FQ + QD + DC > FD + DC}} = {{math|FA + AD + DC > FA + AC}} = {{math|AB + AC.}}
:即{{math|PA + PB + PC  > AB + AC.}}
所以{{math|A}}点到三[[頂點 (幾何)|顶点]]的距离比三角形内任意一点到三顶点的距离都小，即{{math|A}}点为费马点。

==物理学解释==
费马的问题也可以用物理的方法来解决。将平面上所给的三个给定点钻出洞来，再设有三条绳子系在一起，每条绳子各穿过一个洞口，而绳子的末端都绑有一个固定重量{{math|'''m'''}}的重物。假设摩擦力可以忽略，那么绳子会被拉紧，而绳结最后会停在平面一点的上方。可以证明，这个点就是三个给定点所对应的费马点。首先，由于绳长是固定的，而绳子竖直下垂的部分越长，重物的位置也就越低，势能越低。在平衡态的时候，系统的势能达到最小值，也就是绳子竖直下垂的部分的长度达到最大值，因此水平的部分的长度达到最小值。而绳子的水平部分的长度就是{{math|PA + PB + PC}}，因此这时{{math|PA + PB + PC}}最小，也就是达到费马点。

在系统处于平衡态时，由力学原理可知绳子两两之间张成的角度<math>\angle \mathrm{APB} </math>、<math>\angle \mathrm{BPC} </math>和<math>\angle \mathrm{APC} </math> 之间满足合力公式：

:<math>\frac{\sin (\angle \mathrm{APB})}{\mathbf{m}g} = \frac{\sin (\angle \mathrm{BPC})}{\mathbf{m}g} = \frac{\sin (\angle \mathrm{APC})}{\mathbf{m}g} </math>

也就是说这三个角相等，即都是120°。<ref name="zx"/><ref>{{cite book|author=Alexander Ostermann, Gerhard Wanner|title=''Geometry by Its History''|url=https://archive.org/details/geometrybyitshis0000oste|year=2012|publisher=Springer|isbn=9783642291630}}</ref>{{rp|197-198}}

== 推广 ==
费马点的定义可以推广到更多点的情况。设平面上有{{math|m}}个点：{{math|''P''<sub>1</sub> , ''P''<sub>2</sub> , ... , ''P''<sub>m</sub>}}，又有正实数：{{math|λ<sub>1</sub> , λ<sub>2</sub> , ... , λ<sub>m</sub>}}。费马问题可以推广为：寻找一个点{{math|X}}，使得它到这{{math|m}}个点的距离在加权后之和:
:<math>\lambda_1 \cdot XP_1 + \lambda_2 \cdot XP_2 + \cdots + \lambda_m \cdot XP_m </math>
是最小的。
===高维的情况===
费马点问题还可以推广到高维空间中。比如说在{{math|''n''}}[[维度|维]][[实数|实]][[向量空间]]<math>\mathbb{R}^n</math>中，给定{{math|m}}个点：{{math|''p''<sub>1</sub> , ''p''<sub>2</sub> , ... , ''p''<sub>m</sub>}}，对空间中另一点{{math|''x''}}，设它到前述{{math|m}}个点的欧几里德距离之和为函数{{math|Dist(''x'')}}：
:<math>\operatorname{Dist}(x) = \sum_{i=1}^m \| x - p_i\|</math>
则费马点问题就变成寻找使得{{math|Dist(''x'')}}最小的一点{{math|''p''<sub>min</sub> ∈ }}<math>\mathbb{R}^n</math><ref name="gm">{{cite book|author=Vladimir Boltyanski, Horst Martini, V. Soltan, V. Valerii Petrovich Soltan|title=''Geometric Methods and Optimization Problems''|year=1999|publisher=Springer, 插图版|isbn=9780792354543}}</ref>{{rp|236-237}}。与平面费马点问题相似，高维情况下的费马点问题也有由林德罗夫和斯图姆证明的类似结论<ref name="gm"/>{{rp|237}}：
#使得{{math|Dist(''x'')}}最小点{{math|''p''<sub>min</sub>}}并且是唯一的。
#如果从任何一点{{math|''p''<sub>''i''</sub>}}到剩下的{{math|m-1}}点方向上的{{math|m-1}}个单位向量的向量和长度都大于1，那么：
#*{{math|''p''<sub>min</sub>}}不是{{math|''p''<sub>1</sub> , ''p''<sub>2</sub> , ... , ''p''<sub>m</sub>}}中任何一点，
#*从{{math|''p''<sub>min</sub>}}到{{math|''p''<sub>1</sub> , ''p''<sub>2</sub> , ... , ''p''<sub>m</sub>}}方向上的{{math|m}}个单位向量的向量和是0。
#如果从某一点{{math|''p''<sub>''i''</sub>}}到剩下的{{math|m-1}}点方向上的{{math|m-1}}个单位向量的向量和长度小于等于1，那么{{math|''p''<sub>min</sub>}}就是这个点。
对于加权的费马点问题，也有类似的结论，只需将上述结论中的向量和替换为加权向量和，条件中的1也要替换为对应点的权重<ref name="gm"/>{{rp|249-250}}。

==参见==
*[[西姆松定理]]
*[[九点圆]]
*[[斯坦纳树]]

== 参考来源 ==
<references/>
*{{cite book | title = The parsimonious universe: shape and form in the natural world | url = https://archive.org/details/parsimoniousuniv0000hild | author = Stefan Hildebrandt,Anthony Tromba | year = 1996 |publisher =Springer |isbn = 978-0387979915 }}
*{{cite web  | url = http://www.matifutbol.com/en/triangle.eng.html  | title = 一个实际的例子，费马点  | language = en  | access-date = 2013-03-19  | archive-date = 2020-01-30  | archive-url = https://web.archive.org/web/20200130234752/http://www.matifutbol.com/en/triangle.eng.html  | dead-url = no  }}

{{三角形的特殊点}}
{{皮埃爾·德·費馬}}

[[Category:三角形几何]]