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'''貴金屬比例'''、'''貴金屬分割'''（{{lang-en|metallic ratio}}）定义为

: <math>\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}:1</math>（n为自然数）

所表示的比率。

随<math>n</math>值的不同，又称为'''第<math>n</math>貴金屬比例'''、'''第<math>n</math>貴金屬分割'''。特别地，第1貴金屬比例<math>\frac{1+\sqrt5}{2}:1</math>称为[[黄金比例]]、第2貴金屬比例<math>1+\sqrt{2}:1</math>称为[[白銀比例]]、第3貴金屬比例<math>\frac{3+\sqrt{13}}{2}:1</math>称为[[青銅比例]]。
<ref># {{Cite web |url= http://kojika17.com/2011/08/type-of-ratio.html |title= デザインの基礎、黄金比から大和比、第2黄金比まで |language= ja |accessdate= 2012年11月1日 |archive-date= 2021年2月27日 |archive-url= https://web.archive.org/web/20210227212354/https://www.kojika17.com/2011/08/type-of-ratio.html |dead-url= no }}</ref>

== 貴金属数 ==

{| class="wikitable" style="float:right"

|+貴金属数

|-

! 0

|<math>\frac{0+\sqrt{4}}{2} </math>

| 1

| 1

|-

! 1

|<math>\frac{1+\sqrt{5}}{2} </math>

|<math>\frac{1+\sqrt{5}}{2} </math>

| 1.6180339887...

|-

! 2

|<math>\frac{2+\sqrt{8}}{2} </math>

|<math>1+\sqrt{2} </math>

| 2.4142135623...

|-

! 3

|<math>\frac{3+\sqrt{13}}{2} </math>

|<math>\frac{3+\sqrt{13}}{2} </math>

| 3.3027756377...

|-

! 4

|<math>\frac{4+\sqrt{20}}{2} </math>

|<math>2+\sqrt{5} </math>

| 4.2360679774...

|-

! 5

|<math>\frac{5+\sqrt{29}}{2} </math>

|<math>\frac{5+\sqrt{29}}{2} </math>

| 5.1925824035...

|-

! 6

|<math>\frac{6+\sqrt{40}}{2} </math>

|<math>3+\sqrt{10} </math>

| 6.1622776601...

|-

! 7

|<math>\frac{7+\sqrt{53}}{2} </math>

|<math>\frac{7+\sqrt{53}}{2} </math>

| 7.1400549446...

|-

! 8

|<math>\frac{8+\sqrt{68}}{2} </math>

|<math>4+\sqrt{17} </math>

| 8.1231056256...

|-

! 9

|<math>\frac{9+\sqrt{85}}{2} </math>

|<math>\frac{9+\sqrt{85}}{2} </math>

| 9.1097722286...
|-

! ''n''

| colspan="3" style="text-align:center" |<math>\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2} </math>

|}

'''貴金属数'''是

: <math>\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}</math>

即[[二次方程式]]<math>x^2-nx-1=0</math>的正根。

=== 連分数 ===

貴金属数的[[連分数|連分数表示]]是：

: <math>n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{\ddots}}}} = [n; n, n, n, n, \dots]</math>

=== 数列的商的極限 ===

黄金数（第1貴金属数）是[[斐波那契数列]]相邻两项的比的极限，白银数（第2貴金属数）是[[佩尔数|佩尔数列]]相邻两项的比的极限；一般地，也存在以第<math>n</math>貴金属数为相邻两项的比的极限的数列。

数列<math>\{M_k\}</math>的[[递推关系式]]

: <math>M_0 = 0,\quad M_1 = 1,\quad M_{k+2} = n M_{k+1} + M_k</math>

一旦定义了此关系式，则在此之中，第<math>n</math>貴金属数为<math>\mu</math>，有

: <math>M_k = \frac{\mu^k - (-\mu)^{-k}}{\mu + \mu^{-1}} = \frac{\mu^k - (-\mu)^{-k}}{\sqrt{n^2+4}}</math>

成立。在这种情况下，这个序列的两个相邻项的商数在<math>K\rightarrow\infty</math>收敛于<math>\mu</math>。即

: <math>\lim_{k\to\infty} \frac{M_{k+1}}{M_k} = \mu </math>

成立。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 参见 ==
* [[黄金比例]]
* [[白銀比例]]
* [[青銅比例]]

{{貴金屬比例}}
{{Fractions and ratios}}

[[Category:數學常數|MR]]
[[Category:比率|MR]]