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{{Numbers}}
'''負整數'''，在[[数学]]中是指小於[[0]]的[[整數]]。負整數是[[负数]]与整数的[[交集]]。和整數一样，負整數也是一個[[可數]]的[[無限集合]]。這個[[集合 (数学)|集合]]在数学上通常用[[粗體]]'''Z<sup>-</sup>'''或<math>\mathbb{Z}^-</math>来表示。<ref name="Weisstein NegativeInteger">{{Cite mathworld |urlname=NegativeInteger|title=Negative Integer|language=en|access-date=2023-11-24|archive-date=2023-06-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20230606083100/https://mathworld.wolfram.com/NegativeInteger.html|dead-url=no}}</ref>在任何大于0的[[自然数]]前面加上性质符号“−”，所得的数即为负整数，例如[[−1]]、[[−2]]、[[−3]]等。负整数可以被认为是自然数的扩展。負整數与0则统称为[[非正整数]]。

== 性質 ==
負整數是指小於零的整數<ref group="註">在資訊領域中提到的[[負零]]一般不屬於數論中的負整數集合中。</ref>。負整數存在最大值[[負一]]，但不存在最小值；負整數與負整數的和仍是負整數，而負整數與負整數的積會變為正整數。

=== 負整數的平方 ===
由於負整數與負整數的積會變為正整數，因此負整數的平方與其[[相反數]]的平方數相同
:<math>{(-n)}^2={n}^2</math>

=== 負整數的方根 ===
若不考慮[[复数 (数学)|複數]]，負整數不能取平方根，但能夠取奇數次的方根。在複數域中，負整數的平方根為其相反數平方根的虛數單位倍。
:<math>\sqrt {-n}=i\sqrt {n}</math>

=== 負整數的對數 ===
在實數域中，負整數的對數不存在。但在复数域，根据欧拉恒等式{{計算結果|e^(i⋅pi)+1}}，可以得出-1的[[自然对数]]<math>\ln {(-1)}=i\pi</math>，再依據[[對數]]性質<math>
\log_\alpha M N=
\log_\alpha\!M+\log_\alpha\!N</math>，負整數的對數<math>\ln {(-n)}=\ln {(-1\times n)}=\ln {(-1)}+\ln {(n)}</math>，得到：
:<math>\ln {(-n)}=\ln {(n)}+i\pi</math>

=== 負整數的因數 ===
負整數的正因數與其相反數的正因數相同<ref>{{cite web|url=https://sciencing.com/factor-negative-numbers-8170436.html|title=Factors of a Negative Number|date=2018-03-18|publisher=sciencing.com|access-date=2020-03-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20170701193257/http://sciencing.com/factor-negative-numbers-8170436.html|archive-date=2017-07-01|dead-url=no}}</ref>。在質因數分解中，能夠透過將負一提出來完成質因數分解<ref name="book pardo2012introduction">{{Cite book
  |title=Introduction to Cryptography with Maple
  |author=José Luis Gómez Pardo
  |isbn=9783642321665
  |lccn=2012944964
  |series=SpringerLink : Bücher
  |page=336
  |year=2012
  |publisher=Springer Berlin Heidelberg}}</ref><ref name="book bard2015sage">{{Cite book
  |title=Sage for Undergraduates
  |author=Bard, G.V.
  |isbn=9781470411114
  |lccn=14033572
  |page=269
  |year=2015
  |publisher=American Mathematical Society}}</ref>，而除了-1外，其他的質因數亦與其相反數相同。

== 部分的負整數 ==
{{數字性質列表|start=-40|end=-1|use math=yes
|sort invert=yes
|white list=-1,-2,-3,-4,-6,-7,-10,-11,-14,-40
|-1 head={{see also|-1}}
|-2 head={{see also|-2}}
|-3 head={{see also|-3}}
|-1=
*最大的負整數、最大的負奇數。
*平方根為[[虛數單位]]。
|-2=
*最大的負偶數。
*[[立方體]][[下闭集合]]中[[欧拉示性数]]的最小值<ref name="oeisA214283">{{Cite OEIS|sequencenumber=A214283|name=Smallest Euler characteristic of a downset on an n-dimensional cube}}</ref>。
|-3=
*負三分貝為[[半能點]]。
*[[二次域]]<math>\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]</math>為簡單歐幾里得整環。{{#tag:ref|有此性質的負數只有-11, -7, -3, -2, -1{{OEIS|id=A048981}}<ref>{{cite book | last = LeVeque | first = William J. | authorlink = William J. LeVeque | title = Topics in Number Theory, Volumes I and II | publisher = Dover Publications | location = New York | year = 2002 | origyear = 1956 | isbn = 978-0-486-42539-9 | zbl = 1009.11001 | pages = [https://archive.org/details/topicsinnumberth0000leve/page/ II:57,81] | url = https://archive.org/details/topicsinnumberth0000leve/page/ }}</ref>|group="註"|name="oeisA048981"}}
*[[四維超立方體]]（或四維[[超方形]]）[[下闭集合]]中[[欧拉示性数]]的最小值<ref name="oeisA214283"/>
|-4=
*[[五維超立方體]]（或五維[[超方形]]）[[下闭集合]]中[[欧拉示性数]]的最小值<ref name="oeisA214283"/>
*平方根為[[2i]]
|-6=
*[[廣義的三角形數]]、[[廣義的六邊形數]]與{{AnyLink|oeis:A039683|雙Pochhammer三角形|雙Pochhammer三角形}}（Double Pochhammer triangle）{{OEIS|id=A039683}}。
|-7=
*[[二次域]]<math>\mathbb{Q}[\sqrt{-7}]</math>為簡單歐幾里得整環。<ref group="註" name="oeisA048981"/>
|-10=
*{{link-en|六維超立方體|6-cube}}（或六維[[超方形]]）[[下闭集合]]中[[欧拉示性数]]的最小值<ref name="oeisA214283"/>
|-11=
*[[二次域]]<math>\mathbb{Q}[\sqrt{-11}]</math>為簡單歐幾里得整環。<ref group="註" name="oeisA048981"/>
|-14=
*-14是Glaisher's chi數{{OEIS|A002171}}
*-14是廣義的斯特靈三角數{{OEIS|A049444}}
|-40=
*[[華氏溫標|華氏]]及[[攝氏溫標]]的平等點，即-40℉=-40℃。
}}

==参见==
* [[正整數]]

== 註釋 ==
<references group="註" />

==參考文獻==
{{Reflist}}
== 外部連結 ==
* {{MathWorld |urlname = NegativeInteger}}

[[Category:算术]]
[[Category:整数]]