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[[數學]]上，'''貝西科維奇(Besicovitch)覆蓋定理'''是[[實分析]]的一條覆蓋定理。[[歐氏空間]]的任何一個有半徑上限的閉球族中，可以取出幾個子集，子集的球互不相交，且覆蓋原來閉球族中所有球的中心，而子集的數目上限只取決於空間的[[維數]]。

==定理敘述==
若<math>\mathcal F</math>是<math>\mathbb R^n</math>中的非退化（半徑為正數）[[閉集|閉]][[球 (數學)|球]]族，當中的球的半徑有有限上界，即
::<math>\sup\{\mathrm{rad}(B):B\in\mathcal F\} < \infty</math>
而''A''為當中的球的中心組成的集合。那麼<math>\mathcal F</math>中存在子集<math>\mathcal G_1,\cdots,\mathcal G_{N_n}</math>，每個<math>\mathcal G_i</math>是[[可數集|可數多]]個互不相交的球的集合，而且
::<math>A=\bigcup_{i=1}^{N_n} \bigcup_{B\in \mathcal G_i} B</math>
其中<math>N_n</math>是一個僅依賴於''n''的常數。

==證明大概==
先假設''A''是[[有界集合]]。依次選取球<math>B_i</math>
# 選擇<math>B(a_1,r_1)\in\mathcal F</math>為<math>B_1</math>，適合條件<math>r_1 \geq \frac 3 4 \sup\{B(a,r)\in\mathcal F\}</math>
# 若已選取<math>B_1,\cdots, B_{j-1}</math>，<math>j\geq 2</math>。令<math>A_j:=A \setminus \cup_{i=1}^{j-1}B_i</math>。若<math>A_j = \varnothing</math>，就停止；若否，選擇<math>B(a_j,r_j)</math>為<math>B_j</math>，適合條件<math>r_j \geq \frac 3 4 \sup\{B(a,r)\in\mathcal F, a\in A_j\}</math>
球<math>B_i</math>有以下性質
# 以<math>B_i</math>的選取方法可知，若''j'' > ''i''，則<math>r_j \leq \frac 4 3 r_i</math>，<math>\left|a_i - a_j \right| > r_i</math>。
# 將全部球<math>B_i</math>的半徑縮至三分之一，從以上不等式，可證這些縮小的球<math>B(a_i,r_i/3)</math>互不相交。
# 若有[[可數無限]]多球<math>B_i</math>，因''A''有界，及縮小的球不交的性質，所以球<math>B_i</math>的半徑趨向0。
# <math>A\subset \cup_i B_i</math>。若<math>B_i</math>數目有限，則結果明顯；若數目是無限多，假如有<math>a\in A\setminus\cup_i B_i</math>，那麼<math>\mathcal F</math>中有球<math>B(a,r)</math>，而從上一性質知，對足夠大的''j''，有<math>r_j < (3/4) r</math>，與<math>B_j</math>的選取條件矛盾。

對''k'' > 1，估算<math>B_k</math>和多少個之前選擇的球<math>B_i</math>相交。先將這樣的<math>B_i</math>按半徑<math>r_i</math>分成兩組：<math>r_i \leq 3r_k</math>為第一組，<math>r_i > 3r_k</math>為第二組。

對第一組的球<math>B_i=B(a_i,r_i)</math>，將其縮小成<math>B(a_i,r_i/3)</math>後包含在<math>B(a_k,5r_k)</math>中。<math>B(a_i,r_i/3)</math>之間互不相交，故總體積不超過<math>B(a_k,5r_k)</math>的體積。又因<math>r_i \geq (3/4)r_k</math>，因此<math>B(a_i,r_i/3)</math>相對<math>B(a_k,5r_k)</math>的比例有一個下限，而這下限僅由維數''n''決定。所以第一組的球的數目有一個僅依賴於''n''的上限。

對第二組的球，任取其中兩個球<math>B_i</math>,<math>B_j</math>。考慮以<math>a_i</math>,<math>a_j</math>,<math>a_k</math>作頂點的三角形。因<math>B_i</math>,<math>B_j</math>都和<math>B_k</math>相交，又<math>a_k</math>不在<math>B_i</math>,<math>B_j</math>之內，故有不等式
::<math>r_i < \left| a_i-a_k\right| < r_i+r_k</math>
::<math>r_j < \left| a_j-a_k\right| < r_j+r_k</math>
欲證出此三角形以<math>a_k</math>為頂點的角<math>\theta</math>，不小於一常數。可以假設<math>a_ia_k</math>邊長不大於<math>a_ja_k</math>邊長。如果<math>a_i</math>不在<math>B_j</math>內，則<math>a_ia_j</math>邊長大於<math>r_j</math>。若<math>a_ia_j</math>邊長不小於<math>a_ja_k</math>邊長，則<math>a_ia_j</math>為三角形中最長的邊，所以<math>\theta</math>不小於<math>\pi/3</math>。若<math>a_ia_j</math>邊長小於<math>a_ja_k</math>邊長，以[[平面幾何]]可證得這情形時<math>\theta</math>不小於arccos(5/6)。如果<math>a_i</math>在<math>B_j</math>內，必有''i'' < ''j''，故<math>r_j \leq (4/3)r_i</math>，且<math>a_j</math>不在<math>B_i</math>內，因此<math>a_ia_j</math>邊長大於<math>r_i</math>。可證得這情形時<math>\theta</math>不小於arccos(61/64)。取上述下限的最小者，得出<math>\theta</math>的下限為arccos(61/64)。

因此將第二組各個的球的中心和<math>a_k</math>之間連成直線，則任意兩條直線之間在<math>a_k</math>的夾角不小於arccos(61/64)。<math>a_k</math>為中心的[[單位球面]]上，這些直線中任何兩條和球面的交點，其間的球面距離，等於直線間的夾角。直線間的夾角下限，就是交點間的球面距離下限。在單位球面上所能容納的這樣的點的數目，有一個只依賴維數''n''的上限，這也就是第二組球的數目上限。

<math>B_k</math>和之前的球相交的數目上限，是以上兩組的上限的和，於是這個上限只依賴於維數''n''。這個上限加1設為<math>M_n</math>。現在從<math>B_1</math>開始依次把球放到子集<math>\mathcal G_i</math>內。輪到<math>B_k</math>時，因為之前的球中最多有<math>M_n-1</math>個和<math>B_k</math>相交，因此在<math>M_n</math>個子集<math>\mathcal G_i</math>中，必定有至少一個所包含的球都不和<math>B_k</math>相交，於是可以把<math>B_k</math>加進這個子集。這樣就得出了子集<math>\mathcal G_i</math>，滿足條件
::<math>A\subset \bigcup_i B_i = \bigcup_{i=1}^{M_n} \bigcup_{B\in \mathcal G_i} B</math>

對一般的''A''，設
::<math>R:=\sup\{\mathrm{rad}(B),B\in\mathcal F\}</math>
對每個正整數''l''，設
::<math>A_l:=\{x\in A: 3R(l-1)\leq |x| < 3R\,l\}</math>
::<math>\mathcal F^l:=\{B(a,r)\in\mathcal F:a\in A_l\}</math>
將以上結果用到<math>A_l</math>和<math>\mathcal F^l</math>上，得到子集<math>\mathcal G^l_1,\cdots, \mathcal G^l_{M_n}</math>，滿足條件
::<math>A_l\subset  \bigcup_{i=1}^{M_n} \bigcup_{B\in \mathcal G^l_i} B</math>

對<math>1 \leq j \leq M_n</math>，設<math>\mathcal G_i:=\cup_{l=1}^\infty \mathcal G_i^{2l-1}</math>，<math>\mathcal G_{i+M_n}:=\cup_{l=1}^\infty \mathcal G_i^{2l}</math>，並設<math>N_n=2M_n</math>。那麼<math>\mathcal G_i</math>的球互不相交，且有
::<math>A=\bigcup_{l=1}^\infty A_l \subset \bigcup_{i=1}^{N_n} \bigcup_{B\in \mathcal G_i} B</math>
因此定理得證。
==參見==
*[[維塔利覆蓋引理]]

==參考==
*Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). ''Measure Theory and Fine Properties of Functions''. CRC Press.

[[Category:覆盖引理]]
[[Category:分析定理]]