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'''貝爾特拉米等式'''是[[變分法]]中的一等式，由貝爾特拉於1868年發現。它所表達的是，若函數''u''是以下積分的極值

:<math>I(u)=\int_a^b L(x,u,u') \, dx</math>

則符合以下微分方程：

:<math>
\frac{d}{dx}\left(L-u'\frac{\partial L}{\partial u'}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0.
</math>

若''L''是力學系統中的[[拉格朗日力學|拉格朗日量]]，且''L''並非''x''的[[隱函數|顯函數]]，即拉格朗日量並非時間的顯函數，那麼，貝爾特拉米等式表明其[[哈密頓力學|哈密頓量]]是一守恆能量。

== 証明 ==

定義共軛動量''p''為''L''的偏微分

::<math> p = {\partial L \over \partial u'} </math>

則[[歐拉-拉格朗日方程]]給出

::<math> {dp\over dx} - {\partial L \over \partial u} = 0 </math>

即

::<math> p' = {\partial L \over \partial u} </math>

再定義哈密頓量''H''為''L''之[[勒壤得轉換]]：

::<math> H = p u' - L \,</math>

則

::<math> H' = {dH \over dx} = p' u' + p u'' - {\partial L \over \partial u'} u'' - {\partial L \over \partial u} u' - {\partial L \over \partial x}</math>

其中第二及第三項相抵，根據''p''之定義及歐拉-拉格朗日方程，第一及第四項亦相抵，所以給出貝爾特拉米等式：

::<math> H' = - {\partial L \over \partial x} </math>

此亦是[[諾特定理]]的特例。

== 應用 ==

若''L''獨立於''x''，則貝爾特拉米等式說明''H''為一常數：

::<math> - H' = \frac{d}{dx}\left(L-u'\frac{\partial L}{\partial u'}\right) = 0</math>

此可用作求歐拉-拉格朗日方程的解，如同用能量守恆律解牛頓力學一樣。''H''為常數給出''u''的一階導數方程，而歐拉-拉格朗日方程則為''u''的二階導數方程。

例如[[最速降線問題]]，求最小化以下積分之曲線：

::<math> \int_0^1 {\sqrt{1+y'^2} \over \sqrt{y}} dx </math>

其中，將積分最小化的函數''L''與時間無關，

::<math> L(y,y') = {\sqrt{1+y'^2} \over \sqrt{y}} </math>

故此相關之哈密頓量為常數：

::<math> H = p y' - L = {y'^2 \over \sqrt{1+y'^2} \sqrt{y}} - {\sqrt{1+y'^2}\over \sqrt{y}} = {-1 \over \sqrt{1+y'^2}\sqrt{y}} </math>

::<math> \sqrt{1+y'^2}\sqrt{y} = \text{constant}</math>

所以前述方程轉化為[[擺線]]之微分方程。

==外部連結==
* http://mathworld.wolfram.com/BeltramiIdentity.html {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/BeltramiIdentity.html |date=20190712174349 }}

[[Category:變分法]]
[[Category:数学恒等式]]