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若一個[[拓樸空間]]<math>X</math>的[[子集合]]<math>A</math>有'''貝爾性質'''，或是一個'''幾乎開集'''，就表示這集合與開集之間的差為一個{{link-en|貧乏集|meager set}}；換句話說，若存在一個開集合<math>U\subseteq X</math>使得<math>A \bigtriangleup U</math>為貧乏集（此處的<math>\bigtriangleup</math>為[[對稱差]]），那麼就說<math>A</math>有'''貝爾性質'''。<ref name="oxtoby">{{citation|title=Measure and Category|volume=2|series=Graduate Texts in Mathematics|first=John C.|last=Oxtoby|edition=2nd|publisher=Springer-Verlag|year=1980|isbn=978-0-387-90508-2|contribution=4. The Property of Baire|pages=19–21|url=https://books.google.com/books?id=wUDjoT5xIFAC&pg=PA19}}.</ref>

==定義==
{{anchor|幾乎開|幾乎開集}}

若一個[[拓樸空間]]<math>X</math>的[[子集合]]<math>A</math>是一個有'''貝爾性質'''的'''幾乎開集'''，那就表示存在一個<math>U\subseteq X</math>使得<math>A \bigtriangleup U</math>為貧乏集，此處的<math>\bigtriangleup</math>為[[對稱差]]；此外<ref name="oxtoby" />若<math>A</math>有'''限制意義下的貝爾性質'''的話，就表示說對於任意<math>X</math>的子集合<math>E</math>而言，<math>A</math>跟<math>E</math>的交集<math>A\cap E</math>相對於<math>E</math>有貝爾性質。<ref>{{citation|last=Kuratowski|first=Kazimierz|authorlink=Kazimierz Kuratowski|title= Topology. Vol. 1|publisher=Academic Press and Polish Scientific Publishers|year=1966}}.</ref>

==性質==
有貝爾性質的集合構成集族為一個[[σ-代数]]，也就是說，幾乎開集的[[補集]]也是幾乎開集，且任何可數多個幾乎開集的[[聯集]]或[[交集]]也是幾乎開集；<ref name="oxtoby"/>此外，由於空集合本身是貧乏集，因此所有的開集都是幾乎開集之故，因此所有的[[博雷爾集]]都是幾乎開集。

若一個{{link-en|波蘭空間|Polish space}}的子集合有貝爾性質，那麼與其對應的{{link-en|巴拿赫－馬祖爾遊戲|Banach–Mazur game}}是{{link-en|決定性|Determinacy|決定的}}。此命題的逆命題一般不成立，然而若一個{{link-en|適當點類|adequate pointclass}}<math>\Gamma</math>中的所有遊戲都是決定的，那<math>\Gamma</math>中的每個集合都有貝爾性質，也就是說根據由[[大基數|足夠大的基數]]推導而出的{{link-en|射影決定性公設|Axiom of projective determinacy|射影決定性}}，波蘭空間中所有的{{link-en|射影集|projective set}}都有貝爾性質。<ref>{{citation|last1=Becker|first1=Howard|last2=Kechris|first2=Alexander S.|doi=10.1017/CBO9780511735264|isbn=0-521-57605-9|mr=1425877|page=69|publisher=Cambridge University Press, Cambridge|series=London Mathematical Society Lecture Note Series|title=The descriptive set theory of Polish group actions|url=https://books.google.com/books?id=L4Jf_ZRxqt8C&pg=PA69|volume=232|year=1996}}.</ref>

利用[[選擇公理]]，可知一些[[實數]]的子集不具貝爾性質，一個沒有貝爾性質的實數子集的具體的例子是[[維塔利集合]]。<ref>{{harvtxt|Oxtoby|1980}}, p. 22.</ref>實際上選擇公理就已足以證明這點：根據[[布尔素理想定理]]，[[自然數]]集合上存在有一個非主理想[[超濾子]]，而每一個有如此性質的超濾子，都可在以二進制表示實數的狀況下，用以導出一個沒有貝爾性質的實數集。<ref>{{citation|last=Blass|first=Andreas|authorlink=Andreas Blass|contribution=Ultrafilters and set theory|doi=10.1090/conm/530/10440|location=Providence, RI|mr=2757533|pages=49–71|publisher=American Mathematical Society|series=Contemporary Mathematics|title=Ultrafilters across mathematics|volume=530|year=2010}}，可見[https://books.google.com/books?id=_2ZHnqMwGwYC&pg=PA64 第64頁的說明。]</ref>

==參見==

* {{link-en|幾乎開映射|Almost open map}}
* {{annotated link|贝尔纲定理}}
* {{annotated link|開集}}

==參考資料==
{{reflist}}

==外部連結==

* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Baire_property Springer Encyclopaedia of Mathematics article on Baire property] {{Wayback|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Baire_property |date=20200116100505 }}

[[Category:描述集合論]]
[[Category:決定性]]