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數學上，[[矩阵]]或[[有界算子|有界線性算子]]的'''谱半径'''（spectral radius）是其[[特徵值]][[絕對值]]中的最大值（也就是[[矩阵的谱]]中元素絕對值中的[[最小上界]]），會表示為ρ(·)。

==矩陣==
令{{math|''λ''<sub>1</sub>, ..., ''λ<sub>n</sub>''}}是矩陣{{math|''A'' ∈ '''C'''<sup>''n''×''n''</sup>}}中的特徵值，則其谱半径 {{math|''ρ''(''A'')}} is 定義為：

:<math>\rho(A) = \max \left \{ |\lambda_1|, \dotsc, |\lambda_n| \right \}.</math>

<math>A</math>的[[条件数]]可以用譜半徑表示，公式為<math> \rho(A) \rho(A^{-1}) </math>。

譜半徑是矩陣所有範數的一種[[下确界]]（infimum）。另一方面，<math> \rho(A) \leqslant \|A\| </math>對每一個[[矩陣範數]] <math>\|\cdot\|</math>都成立，Gelfand公式指出<math> \rho(A) = \lim_{k\to\infty} \|A^k\|^{1/k} </math>。<!--二式在以下都會證明。-->不過，針對任意向量<math> \mathbf{v} \in \mathbb{C}^n </math>，譜半徑不一定會滿足<math> \|A\mathbf{v}\| \leqslant \rho(A) \|\mathbf{v}\| </math>。若要說明原因，可以令<math> r>1 </math>為任意數，考慮矩陣<math> C_r = \begin{pmatrix} 0 & r^{-1} \\ r & 0 \end{pmatrix} </math>。<math> C_r </math>的[[特徵多項式]]是<math> \lambda^2 - 1 </math>，因此其特徵值為<math> \pm 1 </math>，且<math> \rho(C_r) = 1 </math>。不過<math> C_r \mathbf{e}_1 = r \mathbf{e}_2 </math>，因此<math> \| C_r \mathbf{e}_1 \| = r > 1 = \rho(C_r) \|\mathbf{e}_1\| </math>，其中<math> \|\cdot\| </math>是<math> \mathbb{C}^n </math>上的任何<math> \ell^p </math>範數。至於可以當<math> k \to \infty </math>時，讓<math> \|C_r^k\|^{1/k} \to 1 </math>的原因是<math> C_r^2 = I </math>，因此當<math> k \to \infty </math>時，使<math> \|C_r^k\|^{1/k} \leqslant \|C_r\|^{1/k} = r^{1/k} \to 1 </math>。

: <math> \|A\mathbf{v}\| \leqslant \rho(A) \|\mathbf{v}\| </math>針對所有<math> \mathbf{v} \in \mathbb{C}^n </math>
成立的條件是<math>A</math>為[[埃尔米特矩阵]]及<math> \|\cdot\| </math>為[[欧几里得空间|欧几里得範數]]。

==圖==
有限[[图 (数学)|图]]的谱半径定義為其[[邻接矩阵]]的谱半径。

此一定義可以擴散到無限圖，但是其每個頂點都只連接有限個頂點（存在一實數{{mvar|C}}使得每一個頂點的[[度 (圖論)|度]]都小於{{mvar|C}}）。此情形下，針對圖{{mvar|G}}可定義：

:<math> \ell^2(G) = \left \{ f : V(G) \to \mathbf{R} \ : \ \sum\nolimits_{v \in V(G)} \left \|f(v)^2 \right \| < \infty \right \}.</math>

令{{mvar|γ}}是 {{mvar|G}}的邻接算子：

:<math> \begin{cases} \gamma : \ell^2(G) \to \ell^2(G) \\ (\gamma f)(v) = \sum_{(u,v) \in E(G)} f(u) \end{cases}</math>

{{mvar|G}}的谱半径定義為有界線性算子{{mvar|γ}}的谱半径。
==上界==

===矩陣譜半徑的上界===

以下的命題指出了一個簡單但是有用的矩陣譜半徑上界：

'''命題'''：令{{math|''A'' ∈ '''C'''<sup>''n''×''n''</sup>}}，其譜半徑為{{math|''ρ''(''A'')}}，以及相容（Consistent）[[矩陣範數]] {{math|{{!!}}⋅{{!!}}}}。則針對每一個整數<math>k \geqslant 1</math>:

::<math>\rho(A)\leq \|A^k\|^{\frac{1}{k}}.</math>

'''證明'''

令{{math|('''v''', ''λ'')}}為矩陣''A''的特徵值-特徵向量對。利用矩陣範數的次可乘性（sub-multiplicative property），可得：

:<math>|\lambda|^k\|\mathbf{v}\| = \|\lambda^k \mathbf{v}\| = \|A^k \mathbf{v}\| \leq \|A^k\|\cdot\|\mathbf{v}\|</math>

因為{{math|'''v''' ≠ 0}}，可得

:<math>|\lambda|^k \leq \|A^k\|</math>

因此

:<math>\rho(A)\leq \|A^k\|^{\frac{1}{k}}.</math>

=== 圖譜半徑的上界 ===
有關''n''個頂點，''m''個邊的圖，有許多的譜半徑的上界公式。例如，若

:<math>\frac{(k-2)(k-3)}{2} \leq m-n \leq \frac{k(k-3)}{2}</math>

其中<math>3 \le k \le n</math>為整數，則<ref>{{Cite journal|last=Guo|first=Ji-Ming|last2=Wang|first2=Zhi-Wen|last3=Li|first3=Xin|date=2019|title=Sharp upper bounds of the spectral radius of a graph|journal=Discrete Mathematics|language=en|volume=342|issue=9|pages=2559–2563|doi=10.1016/j.disc.2019.05.017}}</ref> ：

:<math>\rho(G) \leq \sqrt{2 m-n-k+\frac{5}{2}+\sqrt{2 m-2 n+\frac{9}{4}}}</math>
==乘幂數列==

===定理===
谱半径和矩陣乘幂數列是否收斂有緊密的關係。以下的定理會成立：
:'''定理'''：令{{math|''A'' ∈ '''C'''<sup>''n''×''n''</sup>}}，其譜半徑{{math|''ρ''(''A'')}}。則{{math|''ρ''(''A'') < 1}}若且唯若
::<math>\lim_{k \to \infty} A^k = 0.</math>
:另一方面，若{{math|''ρ''(''A'') > 1}}, <math>\lim_{k \to \infty} \|A^k\| = \infty</math>。上述敘述針對{{math|'''C'''<sup>''n''×''n''</sup>}}上的任何矩陣範數都有效。

===定理證明===
假設問題中的極限值為零，可以證明{{math|''ρ''(''A'') < 1}}。令{{math|('''v''', ''λ'')}}為''A''的[[特征值和特征向量]]對。因為{{math|''A<sup>k</sup>'''''v''' {{=}} ''λ<sup>k</sup>'''''v'''}}可得：

:<math>\begin{align}
  0 &= \left(\lim_{k \to \infty} A^k \right) \mathbf{v} \\
    &= \lim_{k \to \infty} \left(A^k\mathbf{v} \right ) \\
    &= \lim_{k \to \infty} \lambda^k\mathbf{v} \\
    &= \mathbf{v} \lim_{k \to \infty} \lambda^k
\end{align}</math>

因為假設{{math|'''v''' ≠ 0}}，會得到

:<math>\lim_{k \to \infty}\lambda^k = 0</math>

表示|λ| < 1。因為這對任何一個特征值都會成立，因此可知ρ(''A'') < 1。

接下來假設{{mvar|A}}的譜半徑小於{{math|1}}。根據[[若尔当标准型]]定理，可以知道針對所有的{{math|''A'' ∈ '''C'''<sup>''n''×''n''</sup>}}，存在{{math|''V'', ''J'' ∈ '''C'''<sup>''n''×''n''</sup>}}以及非奇異的{{mvar|V}}和{{mvar|J}}分塊對角矩陣使得：

:<math>A = VJV^{-1}</math>

而

:<math>J=\begin{bmatrix}
J_{m_1}(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & J_{m_2}(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}(\lambda_{s-1}) & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}(\lambda_s)
\end{bmatrix}</math>

其中

:<math>J_{m_i}(\lambda_i)=\begin{bmatrix}
\lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_i & 1 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i
\end{bmatrix}\in \mathbf{C}^{m_i \times m_i}, 1\leq i\leq s.</math>

因此可得

:<math>A^k=VJ^kV^{-1}</math>

因為{{mvar|J}}是分塊對角矩陣

:<math>J^k=\begin{bmatrix}
J_{m_1}^k(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & J_{m_2}^k(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}^k(\lambda_{s-1}) & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}^k(\lambda_s)
\end{bmatrix}</math>

而<math>m_i \times m_i</math>若尔当方塊矩陣{{mvar|k}}次方可以得到，針對<math>k \geq m_i-1</math>：

:<math>J_{m_i}^k(\lambda_i)=\begin{bmatrix}
\lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & {k \choose 2}\lambda_i^{k-2} & \cdots & {k \choose m_i-1}\lambda_i^{k-m_i+1} \\
0 & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & \cdots & {k \choose m_i-2}\lambda_i^{k-m_i+2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} \\
0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i^k
\end{bmatrix}</math>

因此，若<math>\rho(A) < 1</math>，則針對所有的{{mvar|i}}，<math>|\lambda_i| < 1</math>都會成立。因此針對所有的{{mvar|i}}，可得：

:<math>\lim_{k \to \infty}J_{m_i}^k=0</math>

這也表示

:<math>\lim_{k \to \infty} J^k = 0.</math>

因此

:<math>\lim_{k \to \infty}A^k=\lim_{k \to \infty}VJ^kV^{-1}=V \left (\lim_{k \to \infty}J^k \right )V^{-1}=0</math>

另一方面，若<math>\rho(A)>1</math>，當k增加時，在{{mvar|J}}中至少有一個元素無法維持有界，因此證明了定理的第二部份。
==Gelfand公式==

=== 定理 ===
以下的定理可以用[矩陣範數的極限來計算T谱半径
:'''定理（Gelfand公式，1941年）'''：令任何[[矩陣範數]] {{math|{{!!}}⋅{{!!}},}}，可得
::<math>\rho(A)=\lim_{k \to \infty} \left \|A^k \right \|^{\frac{1}{k}}.</math><ref>此公式在任何Banach幾何下都成立。參考{{harvnb|Dunford|Schwartz|1963}}的Lemma IX.1.8，以及{{harvnb|Lax|2002|pp=195–197}}</ref>.

===證明===
令任意{{math|''ε'' > 0}}，先建構以下二個矩陣：

:<math>A_{\pm}= \frac{1}{\rho(A) \pm\varepsilon}A.</math>

則:

:<math>\rho \left (A_{\pm} \right ) = \frac{\rho(A)}{\rho(A) \pm \varepsilon}, \qquad \rho (A_+) < 1 < \rho (A_-).</math>

先將之前的定理應用到{{math|''A''<sub>+</sub>}}:

:<math>\lim_{k \to \infty} A_+^k=0.</math>

這表示，根據級數極限定理，一定存在{{math|''N''<sub>+</sub> ∈ '''N'''}}使得針對所有的''k'' ≥ N<sub>+</sub>，下式都成立

:<math>\begin{align}
\left \|A_+^k \right \| < 1 \end{align}</math>
因此
:<math>\begin{align}
\left \|A^k \right \|^{\frac{1}{k}} < \rho(A)+\varepsilon.
\end{align}</math>

將之前的定理用在{{math|''A''<sub>−</sub>}}，表示<math>\|A_-^k\|</math>無界，一定存在{{math|''N''<sub>−</sub> ∈ '''N'''}}使得針對所有的''k'' ≥ N<sub>−</sub>，下式都成立

:<math>\begin{align}
\left\|A_-^k \right \| > 1 
\end{align}</math>
因此
:<math>\begin{align}
\left\|A^k \right\|^{\frac{1}{k}} > \rho(A)-\varepsilon. 
\end{align}</math>

令{{math|''N'' {{=}} max{''N''<sub>+</sub>, ''N''<sub>−</sub>},}}，可得：

:<math>\forall \varepsilon>0\quad \exists N\in\mathbf{N} \quad \forall k\geq N \quad \rho(A)-\varepsilon < \left \|A^k \right \|^{\frac{1}{k}} < \rho(A)+\varepsilon</math>

因此，依定義，可得下式

:<math>\lim_{k \to \infty} \left \|A^k \right \|^{\frac{1}{k}} = \rho(A).</math>
==舉例==
考慮以下矩陣

:<math>A=\begin{bmatrix}
9 & -1 & 2\\
-2 & 8 & 4\\
1 & 1 & 8
\end{bmatrix}</math>

其中的特徵值為{{math|5, 10, 10}}。依照定義，{{math|''ρ''(''A'') {{=}} 10}}。在以下的表中，會以四個最常用的矩陣範式，在k增加時，計算<math>\|A^k\|^{\frac{1}{k}}</math>（注意，因為此矩陣特殊的形式，<math>\|.\|_1=\|.\|_\infty</math>）:

{| class=wikitable
! ''k''
! <math>\|.\|_1=\|.\|_\infty</math>
! <math>\|.\|_F</math>
! <math>\|.\|_2</math>
|-
| 1
| 14
| 15.362291496
| 10.681145748
|-
| 2
| 12.649110641
| 12.328294348
| 10.595665162
|-
| 3
| 11.934831919
| 11.532450664
| 10.500980846
|-
| 4
| 11.501633169
| 11.151002986
| 10.418165779
|-
| 5
| 11.216043151
| 10.921242235
| 10.351918183
|-
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
|-
| 10
| 10.604944422
| 10.455910430
| 10.183690042
|-
| 11
| 10.548677680
| 10.413702213
| 10.166990229
|-
| 12
| 10.501921835
| 10.378620930
| 10.153031596
|-
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
|-
| 20
| 10.298254399
| 10.225504447
| 10.091577411
|-
| 30
| 10.197860892
| 10.149776921
| 10.060958900
|-
| 40
| 10.148031640
| 10.112123681
| 10.045684426
|-
| 50
| 10.118251035
| 10.089598820
| 10.036530875
|-
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
|-
| 100
| 10.058951752
| 10.044699508
| 10.018248786
|-
| 200
| 10.029432562
| 10.022324834
| 10.009120234
|-
| 300
| 10.019612095
| 10.014877690
| 10.006079232
|-
| 400
| 10.014705469
| 10.011156194
| 10.004559078
|-
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
|-
| 1000
| 10.005879594
| 10.004460985
| 10.001823382
|-
| 2000
| 10.002939365
| 10.002230244
| 10.000911649
|-
| 3000
| 10.001959481
| 10.001486774
| 10.000607757
|-
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
|-
| 10000
| 10.000587804
| 10.000446009
| 10.000182323
|-
| 20000
| 10.000293898
| 10.000223002
| 10.000091161
|-
| 30000
| 10.000195931
| 10.000148667
| 10.000060774
|-
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
| <math>\vdots</math>
|-
| 100000
| 10.000058779
| 10.000044600
| 10.000018232
|}

==有界線性算子==
針對[[有界算子|有界線性算子]] {{mvar|A}} 及[[算子范数]] ||·||，可以得到

:<math>\rho(A) = \lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{\frac{1}{k}}.</math>

（複數希爾伯特空間上的）有界算子若其谱半径等於{{le|數值半徑|numerical radius}}，可以稱為「譜算子」（spectraloid operator）。其中一個例子是[[正规算子]]。
==相關條目==
*[[聯合譜半徑]]
*{{le|譜隙|Spectral gap}}
*[[矩阵的谱]]
==註解==
{{reflist}}
==參考資料==
* {{citation
| last1=Dunford | first1=Nelson
| last2=Schwartz | first2=Jacob
| title = Linear operators II. Spectral Theory: Self Adjoint Operators in Hilbert Space
| publisher = Interscience Publishers, Inc. | year = 1963
}}
* {{citation | last=Lax| first = Peter D. |authorlink=Peter Lax 
| title = Functional Analysis | publisher = Wiley-Interscience | year = 2002 
| isbn = 0-471-55604-1}}

{{泛函分析}}

[[Category:算子理论]]
[[Category:矩陣論]]
[[Category:谱理论]]