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在[[數學]]裏，特別是在[[變分法]]裏，'''變分法基本引理'''（{{lang|en|fundamental lemma of calculus of variations}}）是一種專門用來變換問題表述的[[引理]]，可以將問題從[[弱版表述]]（{{lang|en|weak formulation}}）（[[變分法|變分形式]]）改變為強版表述（[[微分|微分形式]]）。

==敘述==
<math>C^k</math> 代表<math>k</math>阶导数连续（<math>k</math>阶光滑）的函数空间，<math> C^\infty </math>代表无限光滑的函数空间。 

變分法基本引理：

設 <math>f(x)\in C^\infty [a,\ b]\,\!</math>

若任意 <math>h(x)\in C^\infty [a,\ b]\,\!</math> 滿足 <math>h(a)=h(b)=0\,\!</math> 成立
:<math> \int_a^b f(x) \, h(x) \, dx = 0 \,\!</math> 
則 <math>\mbox{∀}x\in(a,\ b):f(x) = 0\,\!</math>。

==證明==
設 <math>f(x)\in C^\infty [a,\ b]\,\!</math> 且 <math>f(x)\neq 0\,\!</math> ，

因為只要存在一個不滿足 <math> \int_a^b f(x) \, h(x) \, dx = 0 \,\!</math> 的 <math>h(x)</math> ，就可以證明 <math>f(x)=0\,\!</math> ，因此我們只須證明其中一個特例。


令 <math>r(x)\,\!</math> 滿足下列兩個條件：

<math>r(a)=r(b)=0\,\!</math> ；

<math>\mbox{∀}x\in(a,\ b) :r(x)>0\,\!</math> ；

並且令 <math>h(x) = r(x) f(x)\,\!</math>。

由 <math>h(x) = r(x) f(x)\,\!</math> 可得到
:<math>0 = \int_a^b f(x) h(x) \; dx = \int_a^b r(x) f(x)^2 \; dx\,\!</math> 。
因為 <math>r(x)\,\!</math> 在 <math>(a,\ b)\,\!</math> 是正值，所以<math>f(x)\,\!</math> 必須恆等於 0 ，與假設 <math>f(x)\neq 0\,\!</math> 矛盾。

故 <math>\mbox{∀}x\in(a,\ b):f(x) = 0\,\!</math> 。

==應用==
這引理可用來證明[[泛函]]
:<math> J[f(t,y,\dot y)] = \int_{x_0}^{x_1} f(t,y,\dot y) \, dt \,\!</math>
的[[極值]]是[[歐拉-拉格朗日方程|歐拉-拉格朗日方程式]]
:<math> {d \over dt} \left({\partial f(t,y,\dot y) \over \partial \dot y}\right) - {\partial f(t,y,\dot y) \over \partial y} = 0\,\!</math> 
的弱解。

歐拉-拉格朗日方程式在[[經典力學]]和[[微分幾何]]佔有重要的角色。

==參閱==
*[[拉格朗日力學]]
*[[哈密頓原理]]
*[[泛函分析]]

==參考文獻==
*{{cite book|last = Leitmann|first = George|title = The Calculus of Variations and Optimal Control: An Introduction|url = https://archive.org/details/calculusofvariat0000leit|publisher = Springer|date = 1981|isbn = 0306407078}}

[[Category:拉格朗日力學|B]]
[[Category:變分法|B]]
[[Category:引理|B]]