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在[[同調代數]]中，'''譜序列'''是一種藉著逐步逼近以計算同調或上同調群的技術，由[[讓·勒雷]]在1946年首創。其應用見諸[[代數拓撲]]、[[群上同調]]與[[同倫理論]]。

==動機==
讓·勒雷當初為了研究代數拓撲學，而引入[[層 (數學)|層]]的概念，從而面臨計算[[層上同調]]的問題。為此，勒雷發明了現稱[[勒雷譜序列]]的計算方法，它聯繫了一個層的上同調群與其正像的上同調群。

人們很快就發現：勒雷譜序列只是一個特例。譜序列還現身於[[纖維化 (數學)|纖維化]]等幾何問題；更抽象地說，對合成函子取[[導函子]]也會得到譜序列，稱為[[格羅滕迪克譜序列]]。雖然[[導範疇]]在理論層面提供了較簡鍊的框架，譜序列仍是最有效的計算工具。

由於譜序列包含大量的項，實際計算時往往會陷入帶（至少）三重指標的[[群]]或[[模]]的迷陣。在許多實際狀況中，譜序列最後會「塌陷」，此時譜序列可以給出明確的資訊。若譜序列不塌陷，則須靠一些竅門取得有用的資訊。

==形式定義==
以下固定一個[[阿貝爾範疇]] <math>\mathcal{A}</math>，常見例子是一個環上的[[模]]範疇。'''譜序列'''是一個非負整數 <math>r_0</math> 及下述資料：
* 對所有整數 <math>r \geq r_0</math>，有範疇中的一個對象 <math>E_r</math>。
* 自同態 <math>d_r: E_r \to E_r</math>，滿足 <math>d_r^2 = 0</math>，稱為'''邊界映射'''或'''微分'''。
* 從 <math>E_{r+1}</math> 到 <math>H(E_r, d_r)</math> 的同構。

通常省去 <math>E_{r+1}</math> 與 <math>H(E_r, d_r)</math> 的同構，而寫成等式。

最基本的例子是[[鏈複形]] <math>C_\bullet</math>，它帶有一個微分 <math>d</math>。取 <math>r_0=0</math>，並令 <math>E_0 = C_\bullet</math>，於是必有 <math>E_1 = H(C_\bullet)</math>；這個新鏈複形上的微分只有一個自然的選擇，就是零映射。於是有 <math>E_1 = E_2 = \cdots</math>。綜之，我們得到一個鏈複形範疇上的譜序列：

* <math>E_0 = C_\bullet</math>
* <math>E_r = H(C_\bullet) \; (r \geq 1)</math>

由於只有 <math>r=0</math> 時微分映射才可能非零，此序列在第一步後就不含任何新資訊。

較常見的是雙分次模（或層）範疇上的譜序列，表作 <math>E_r^{p,q}</math>，此時的微分映射次數與 <math>r</math> 有關：對於上同調譜序列，<math>d_r: E_r \to E_r</math> 的次數是 <math>(r, -r+1)</math>。對於同調譜序列，通常將各項寫成 <math>E_r</math>，微分映射 <math>d^r: E_r \to E_r</math> 的次數是 <math>(-r,r-1)</math>。

譜序列之間的態射 <math>f: E \to E'</math> 定義為一族態射 <math>f_r: E_r \to E_r'</math>，使之與同構 <math>E_{r+1} \simeq H(E_r, d_r)</math> 交換。譜序列對此構成了一個阿貝爾範疇。

==正合偶==
交換代數中大部分的譜序列來自鏈複形，而已知構造譜序列最有力的方法是 William Massey 的'''正合偶'''。正合偶在代數拓撲學中很常見，此時對於許多譜序列，正合偶是唯一已知的構造法。事實上，正合偶可以用來構造所有已知的譜序列。

同樣固定一個阿貝爾範疇（通常取一個環上的雙分次模）<math>\mathcal{A}</math>，一個'''正合偶'''是：
[[File:Exact_couple.png|right]]
* 一對對象 <math>A, C</math>
* 三個態射：
** <math>f: A \to A</math>
** <math>g: A \to C</math>
** <math>h: C \to A</math>

使之滿足下述正合條件：
*Image ''f'' = Kernel ''g''
*Image ''g'' = Kernel ''h''
*Image ''h'' = Kernel ''f''

將這組資料簡記為 <math>(A,C,f,g,h)</math>。正合偶通常以三角形表示。<math>C</math> 對應到譜序列的 <math>E_0</math> 項，而 <math>A</math> 是一些輔助資料。

為了得到譜序列的後續項，以下將構造'''導出偶'''。令：
* <math>d := g \circ h</math>
* <math>A' := f(A)</math>
* <math>C' := \mathrm{Ker}(d) /\mathrm{Im}(d)</math>
* <math>f' := f|_{A'}</math>
* <math>h': C' \to A'</math> 由 <math>h</math> 導出。
* <math>g' : A' \to C'</math> 定義如下：若 <math>\mathcal{A}</math> 為某個環上的[[模]]範疇，對任一 <math>a \in A'</math>，存在 <math>b \in A'</math> 使得 <math>a = f(b)</math>，定義 <math>g'(a)</math> 為 <math>g(b)</math> 在 <math>C'</math> 中的像。一般而言，可利用 Mitchell 嵌入定理構造態射 <math>g'</math>。

現在可以驗證 <math>(A', C', f', g', h')</math> 構成正合偶。<math>C'</math> 對應到譜序列的 <math>E_1</math> 項。續行此法，可以得到一族正合偶 <math>(A^{(n)}, C^{(n)}, f^{(n)}, g^{(n)}, h^{(n)})</math>。相應的譜序列定義為 <math>E_n := C^{(n)}</math>，<math>d_n := g^{(n)} \circ h^{(n)}</math>。

==圖解==
[[File:SpectralSequence.png|frame|譜序列的 E<sub>2</sub> 項]]
一個雙分次譜序列含有大量要追蹤的資訊，不過有個常見的圖解法有助於闡明其結構。以下取上同調譜序列為例。在此有三個指標 <math>r, p, q</math>。對每個 <math>r</math>，設想有一張方格紙，分別讓 <math>p, q</math> 對應於橫、縱軸。每一個格子點 <math>(p,q)</math> 對應到對象 <math>E_r^{p,q}</math>。微分 <math>d_r</math> 的次數為 <math>(r,-r+1)</math>，方向如圖所示。

==收斂與退化==
在第一個簡單的例子中，譜序列在 <math>r \geq 1</math> 後的微分映射皆為零，故不再改變。這時可定義該譜序列的'''極限'''為 <math>E_\infty := E_r \; (r \geq 1)</math>。對於一般的譜序列，也往往存在一個極限，極限與各項的關係可說是譜序列的眾妙之門。

'''定義'''：若譜序列 <math>E_r^{p,q}</math> 對每個 <math>(p,q)</math> 都存在 <math>r(p,q) \in \N</math>，使得當 <math>r \geq r(p,q)</math> 時，<math>d_r^{p-r,q+r-1}: E_r^{p-r,q+r-1} \to E_r^{p,q}</math> 及 <math>d_r^{p,q}: E_r^{p,q} \to E_r^{p+r,q-r+1}</math> 皆為零，則稱 <math>E_r^{p,q}</math> 之'''極限項'''為 <math>E_\infty^{p,q} := E_r^{p,q}</math>（取充分大的 <math>r</math>）。最常見的例子是集中在第一象限的譜序列，此時極限項恆存在。

其中的指標 <math>p</math> 指涉過濾結構。

若存在對象 <math>E^\bullet</math>、過濾結構 <math>\cdots \subset F^{p+1}E^\bullet \subset F^{p} E^\bullet \subset \cdots</math>，及一族同構 <math>\beta^{p,q}: E_\infty^{p,q} \simeq \mathrm{gr}^p E^{p+q}</math>，滿足 <math>\bigcap_p F^p E^\bullet = (0), \bigcup_p F^p E^\bullet = E^\bullet</math>（這種過濾稱為「正則過濾」），則稱 <math>E_r^{p,q}</math> '''收斂'''到 <math>E^\bullet</math>，通常表為下述符號：
:<math>E_r^{p,q} \Rightarrow_p E_\infty^{p,q}</math>

習慣上，人們也常將左式寫成 <math>E_2^{p,q}</math>，因為譜序列中最重要的頁往往是 <math>E_2^{p,q}</math>。

最簡單的收斂特例是'''退化'''：

'''定義'''：固定 <math>r \in \N</math>，若對每個 <math>s \geq r</math>，微分映射 <math>d_s</math> 都是零，則稱該譜序列在第 <math>r</math> 頁退化。

退化性保證了 <math>E_r \simeq E_{r+1} \simeq \cdots</math>，此時 <math>E_r</math> 即其極限。如果一個雙分次譜序列 <math>E_r^{p,q}</math> 的非零項集中於某一條水平或垂直線上，則必在 <math>r=2</math> 時退化。

==例子==
===過濾結構導出的譜序列 ===
最常見的譜序列之一來自帶有[[過濾 (數學)|過濾]]結構的對象，通常是鏈複形或上鏈複形。這是一個對象 <math>C</math> 及微分映射 <math>d: C \to C</math> ，使之滿足 <math>d^2=0</math>，以及
: <math> C = F^0 C \supset F^1 C \supset \cdots F^n C \supset F^{n+1}C = 0</math>
: <math> d F^p C \subset F^p C</math>

同調群上也有相應的過濾
: <math>F^p H(C,d) := \mathrm{Im}(H(F^p C, d) \to H(C,d)</math>

對此，定義相應的分次對象
: <math> \mathrm{gr}_F C := \bigoplus_{p \geq 0} F^p C / F^{p+1} C</math>
: <math> \mathrm{gr}_F H(C) := \bigoplus_{p \geq 0} F^p H(C) / F^{p+1} H(C))</math>

取微分映射為零，可視之為複形。

以下式定義譜序列：
: <math>Z_r^p := {x \in F^p C : dx \in F^{p+r} C}</math>
: <math>E_r^p := Z_r^p / (d Z_{r-1}^{p-r+1} + Z_{r-1}^{p+1}) = Z_r^p / (Z_r^p \cap (dF^{p-r+1}C + F^{p+1}C))</math>

此時有 <math>E_0^p = F^p C / F^{p+1} C, E_1^p = H(\mathrm{gr}^p C)</math>，且譜序列收斂：
: <math>E_r^p \Rightarrow E_\infty^p = \mathrm{gr}^p H(C)</math>
通常也寫成 <math>E_r \Rightarrow H(C)</math>。

取 <math>\mathcal{A}</math> 為取值在某個阿貝爾範疇中的上鏈複形範疇。此時的對象 <math>C</math> 是個上鏈複形 <math>\cdots \to C^q \to C^{q+1} \to \cdots</math>，<math>d</math> 是上鏈複形的微分映射。上述譜序列帶有三個指標 <math>p,q,r</math>，並可進一步化成下述形式：
: <math>E_0^{p,q} = F^p C^{p+q}/F^{p+1} C^{p+q}</math>
: <math>E_1^{p,q} = H^{p+q}(\mathrm{gr}^p C^\bullet)</math>
: <math>E_\infty^{p,q} = \mathrm{gr}^p(H^{p+q}(C^\bullet))</math>

===雙複形的譜序列===
以下考慮取值在某個阿貝爾範疇中的'''雙複形'''，即一組對象 <math>C^{p,q}</math>，及兩組微分映射 <math>d': C^{p,q} \to C^{p+1,q}</math> 及 <math>d'': C^{p,q} \to C^{p,q+1}</math>，滿足
: <math>d'^2 = d''^2 = 0</math>
: <math>d' d'' + d'' d' = 0</math>

對一個雙複形，可定義其'''全複形''' <math>(C, D)</math>（也記為 <math>T(C)</math> 或 <math>\mathrm{Tot}(C)</math>） 為
: <math>C^n := \bigoplus_{p+q=n} C^{p,q}</math>
: <math>D := d' + d''</math>

<math>C</math> 上有兩組過濾，分別是：
: <math>('F^p C)^n := \bigoplus_{i+j=n,\, i \geq p} C^{i,j}</math>
: <math>(''F^q C)^n := \bigoplus_{i+j=n,\, j \geq q} C^{i,j}</math>

它們給出兩個譜序列 <math>'E_r</math> 與 <math>''E_r</math>。首先計算 <math>'E_0, 'E_1, 'E_2</math> 項：
: <math>'E_0^{i,j} = C^{i,j}</math>
: <math>'E_1^{i,j} = H_{d''}^j(C^{i,\bullet})</math>
: <math>'E_2^{i,j} = H_{d'}^i(H_{d''}^j(C^{\bullet,\bullet})) \qquad</math>（即：先取縱向上同調，再取橫向上同調）

同理可計算 <math>''E_0, ''E_1, ''E_2</math>：

: <math>''E_0^{i,j} = C^{j,i}</math>
: <math>''E_1^{i,j} = H_{d'}^j(C^{\bullet, i})</math>
: <math>''E_2^{i,j} = H_{d''}^i(H_{d'}^j(C^{\bullet,\bullet})) \qquad</math>（即：先取橫向上同調，再取縱向上同調）。

這兩個譜序列通常是不同的，但隨著 <math>r</math> 增大，它們都收斂到 <math>H(C)</math>，由此可以得到一些有趣的比較定理。

== 例子 ==
===Tor函子的交換性===
利用譜序列，可以迅速導出[[Tor函子]]的交換性，即一自然同構：
: <math>\mathrm{Tor}_i(M,N) = \mathrm{Tor}_i(N,M)</math>

取定平坦分解 <math>P_\bullet \to M \to 0</math> 及 <math>Q_\bullet \to N \to 0</math>。視之為集中於正項的複形，其微分映射分別記為 <math>d, e</math>。考慮雙複形 <math>C_{i,j} := P_i \otimes Q_j</math>，其微分映射定義為 <math>d_{i,j} := d_i \otimes \mathrm{id} + (-1)^j \mathrm{id} \otimes e_j</math>（以使微分映射滿足反交換性）。取其譜序列，遂得到：

:<math>'E^2_{p,q} = H^I_p(H^{II}_q(P_\bull \otimes Q_\bull)) = H^I_p(P_\bull \otimes H^{II}_q(Q_\bull))</math>
:<math>''E^2_{p,q} = H^{II}_q(H^I_p(P_\bull \otimes Q_\bull)) = H^{II}_q(Q_\bull \otimes H^I_p(P_\bull))</math>

由於複形 <math>P_\bullet, Q_\bullet</math> 是平坦分解，其同調群只集中在零次項，此時其表示式為：

:<math>H^I_p(P_\bull \otimes N) = \mbox{Tor}_p(M,N)</math>
:<math>H^{II}_q(Q_\bull \otimes M) = \mbox{Tor}_q(N,M)</math>

故 <math>'E^2_{p,q}</math> 只在 <math>p=0</math> 上有非零項，而 <math>''E^2_{p,q}</math> 只在 <math>q=0</math> 上有非零項，這保證了譜序列在第二頁退化，由此導出同構：

:<math>\mbox{Tor}_p(M,N) \cong E^\infty_{p,q} = \mbox{gr}_p H^{p+q}(T(C_{\bull,\bull}))</math>
:<math>\mbox{Tor}_q(N,M) \cong E^\infty_{p,q} = \mbox{gr}_q H^{p+q}(T(C_{\bull,\bull}))</math>

當 <math>p=q</math> 時，上述等式的右項同構（雖然其分次結構不同），由此得到 Tor 的交換性。

===示性數===
運用譜序列時，通常會假設某些項為零，或假設譜序列在第一或第二頁退化。但有時儘管對各項及微分映射一無所知，仍可從譜序列中萃取資訊，最簡單的例子是'''示性數'''：固定一個阿貝爾範疇 <math>\mathcal{A}</math> 及一個交換群 <math>C</math>，所謂示性數是一個函數 <math>\chi: \mathrm{Ob}\mathcal{A} \to C</math>，滿足：
* <math>\forall 0 \to Y \to X, \; \chi(X) = \chi(Y) + \chi(X/Y)</math>
* <math>X \simeq Y \Rightarrow \chi(X)=\chi(Y)</math>
例如：取 <math>\mathcal{A}</math> 為某個域 <math>k</math> 上的有限維[[向量空間]]範疇，則 <math>\chi: V \mapsto \dim_k V</math> 是一個示性數。

對任一 <math>\mathcal{A}</math> 上的有限複形 <math>K^\bullet</math>，定義
: <math>\chi(K^\bullet) = \sum_i (-1)^i \chi(K^i)</math>

容易證明 <math>\chi(K^\bullet) = \sum_i (-1)^i \chi(H^i(K^\bullet))</math>。考慮任一在 <math>\mathcal{A}</math> 上的收斂譜序列 <math>(E_r^\bullet)</math>，由於譜序列的每一頁都是前一頁的同調，遂得到
: <math>\chi(E_r^\bullet) = \chi(E_{r+1}^\bullet) = \cdots = \chi(E_\infty^\bullet)</math>
然而
: <math>\chi(E^n) = \sum_p \chi(F^p E^n / F^{p+1}E^n) = \sum_p \chi(E_\infty^{p,n-p})</math>
於是得到
: <math>\forall r, \; \sum_n (-1)^n \chi(E^n) = \chi(E_r^\bullet)</math>

<!--
== Further examples ==

Some notable spectral sequences are:

*[[Leray-Serre spectral sequence]] of a [[fibration]]
*[[Lyndon/Hochschild-Serre spectral sequence]] in [[group cohomology]]
*[[Adams spectral sequence]] in [[stable homotopy theory]]
*[[Atiyah-Hirzebruch spectral sequence]] of an [[extraordinary cohomology theory]]
*[[Adams-Novikov spectral sequence]] for an [[extraordinary cohomology theory]]
*[[Grothendieck spectral sequence]] for composing [[derived functor]]s
*[[Chromatic spectral sequence]] for the [[stable homotopy groups of spheres]]
*[[Eilenberg-Moore spectral sequence]]
*[[Bockstein spectral sequence]]
*[[Hyperhomology spectral sequence]]
*[[Green's spectral sequence]] for [[Koszul cohomology]]
-->

==參考資料==
===歷史文獻===

*{{cite journal
 | last = Leray
 | first = Jean
 | year = 1946
 | title = L'anneau d'homologie d'une représentation
 | journal = C. R. Acad. Sci. Paris
 | volume = 222
 | pages = 1366--1368
 }}
*{{cite journal
 | last = Leray
 | first = Jean
 | year = 1946
 | title = Structure de l'anneau d'homologie d'une représentation
 | journal = C. R. Acad. Sci. Paris
 | volume = 222
 | pages = 1419--1422
 }}
*{{cite journal
 | last = Koszul
 | first = Jean-Louis
 | year = 1947
 | title = Sur les opérateurs de dérivation dans un anneau
 | journal = C. R. Acad. Sci. Paris
 | volume = 225
 | pages = 217--219
 }}
*{{cite journal
 | last = Massey
 | first = William S.
 | year = 1952
 | title = Exact couples in algebraic topology. I, II
 | journal = Ann. of Math. (2nd series)
 | volume = 56
 | pages = 363--396
 }}
*{{cite journal
 | last = Massey
 | first = William S.
 | year = 1953
 | title = Exact couples in algebraic topology. III, IV, V
 | journal = Ann. of Math. (2nd series)
 | volume = 57
 | pages = 248--286
 }}

===當代文獻===
*{{springer|id=S/s086490|title=Spectral Sequence|author=S.N. Malygin}}
*{{cite book
 | last = McCleary
 | first = John
 | title = A User's Guide to Spectral Sequences
 | url = https://archive.org/details/usersguidetospec00mccl
 | edition = 2nd Edition
 | publisher = Cambridge University Press
 | doi = 10.2277/0521567599
 | id = ISBN 978-0-521-56759-6
 | pages = [https://archive.org/details/usersguidetospec00mccl/page/n574 560] pp
 |date=February 2001}}
*{{cite book
 | last = Mosher
 | first = Robert
 | coauthors = Martin Tangora
 | title = Cohomology Operations and Applications in Homotopy Theory
 | url = https://archive.org/details/cohomologyoperat0000mosh
 | year = 1968
 | publisher = Harper and Row
 }}
*{{cite book
 | last = Hatcher
 | first = Allen
 | title = Spectral Sequences in Algebraic Topology
 | url = http://www.math.cornell.edu/~hatcher/SSAT/SSATpage.html
 | format = PDF
 | access-date = 2007-08-17
 | archive-date = 2014-02-05
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20140205050819/http://www.math.cornell.edu/~hatcher/SSAT/SSATpage.html
 | dead-url = no
 }}
*{{cite journal
 | last = Chow
 | first = Timothy Y.
 | title = You Could Have Invented Spectral Sequences
 | journal = Notices of the American Mathematical Society
 | volume = 53
 | pages = 15--19
 | url = http://www.ams.org/notices/200601/fea-chow.pdf
 | format = PDF
 | date = January 2006
 | access-date = 2007-08-17
 | archive-date = 2006-10-06
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20061006052140/http://www.ams.org/notices/200601/fea-chow.pdf
 | dead-url = no
 }}

[[Category:代數拓撲|P]]
[[Category:同調代數|P]]
[[Category:谱序列]]