查看“︁調整函式”︁的源代码

{{多個問題|
{{copyedit|time=2019-01-21T15:09:15+00:00}}
{{onesource|time=2019-01-21T15:01:50+00:00}}
{{original research|time=2019-01-21T15:01:50+00:00}}
}}
'''調整函式'''（{{lang-en|Scaling Function}}）
分辨率為2<sup>-j</sup>的 f 的近似值被定義為V<sub>j</sub>上的正交投影P<sub>Vj</sub>f。 

為了計算這個投影，我們必須找到V<sub>j</sub>的標準正交基底。 

定理使 Riesz 基底 {θ(t-n)}<sub>n∈Z</sub>正交化，並通過擴張和平移調整函式Φ，建構每個空間V<sub>j</sub>的正交基底。

避免混淆分辨率2<sup>-j</sup>和尺度 2<sup>j</sup>，在這裡，分辨率的概念被丟棄，並且P<sub>Vj</sub>f 為尺度2<sup>j</sup>的近似值。

<br />

== 定理  ==
令 {'''V'''''<sub>j</sub>'' }''<sub>j</sub>''<sub>∈Z</sub>為多分辨率近似，並且Ø為具有傅立葉變換的調整函數

* <math> \hat{\phi}(\omega)= \dfrac{\hat{\theta}(\omega)}{(\sum_{k=-\infin} ^{+\infin} |\hat{\theta}(\omega+2k\pi)|^2)^{1/2}}</math>

其中

* <math> \phi_{j,n}(t)= \dfrac{1}{\sqrt{2^j}} \phi(\dfrac{t-n}{2^j})</math>

當j∈Z，V<sub>j</sub>的正交基底為{Φ<sub>j,n</sub>}<sub>n∈Z</sub> 
<br />

=== 定理證明 ===
為了建造一個標準正交基底，我們尋找一個函數Φ∈V<sub>0</sub>。 因此，它可以在{θ(t-n)}<sub>n∈Z</sub>的基礎上擴展：

* <math> \phi(t)= \sum_{n=-\infin}^{+\infin} a[n]\theta(t-n)</math>

這意味著

* <math> \hat{\phi}(\omega)= \hat{a}(\omega)\hat{\theta}(\omega)</math>

其中 <math> \hat{a}</math>是週期2W的有限能量的傅立葉級數。 為了計算 <math> \hat{a}</math>我們表示了

頻域中{Φ(t-n)}<sub>n∈Z</sub>的正交性。 設<math> \bar{\phi}(t)= \phi^*(-t)</math>。

對任意(n,p)∈Z<sup>2</sup>而言

* <math> \begin{align}
\left \langle \phi(t-n),\phi(t-p) \right \rangle 
& = \int_{-\infin}^{+\infin} \phi(t-n)\phi^*(t-p) \mathrm{d}t \\
& = \phi \star \bar{\phi}(p-n)
\end{align}</math>

因此，只有在<math> \phi \star \bar{\phi}(n)= \delta[n]</math>時，{Φ(t-n)}<sub>n∈Z</sub>是正交的。

計算此等式的傅里葉變換得到

* <math> \sum_{k=-\infin} ^{+\infin} |\hat{\phi}(\omega+2k\pi)|^2 = 1</math>

實際上，<math> \phi \star \bar{\phi}(n)</math>的傅里葉變換是<math> |\hat{\phi}(\omega)|^2</math>，取樣函數可以對其傅立葉變換進行週期化。

如果我們選擇下列式子，則上式將被證實

* <math> \hat{a}(\omega) = (\sum_{k=-\infin} ^{+\infin} |\hat{\theta}(\omega+2k\pi)|^2)^{-1/2}</math>

其中分母具有嚴格上下限，因此a是有限能量的2W週期函數。
<br />

=== 近似值 ===
通過縮放正交基礎的擴展，獲得f在V<sub>j</sub>上的正交投影

* <math> P_{V_j}f=\sum_{k=-\infin} ^{+\infin} \left \langle f,\phi_{j,n} \right \rangle \phi_{j,n}
</math>

內積為

* <math> a_j[n]=\left \langle f,\phi_{j,n} \right \rangle 

</math>

在尺度2<sup>j</sup>處擁有離散近似。 我們可以將它們重寫為卷積形式：

* <math> \begin{align}
a_j[n] 
& = \int_{-\infin}^{+\infin} f(t) \frac{1}{\sqrt{2^j}} \phi(\frac{t-2^jn}{2^j}) \mathrm{d}t \\
& = f \star \bar{\phi}_j(2^jn)
\end{align}</math> ,       with   <math> \bar{\phi}_j(t) = \sqrt{2^{-j}}\phi(2^{-j}t)</math>

傅立葉轉換 <math> \hat{\phi}</math>的能量通常集中在[-π，π]中。 

因此，<math> \bar{\phi}_j(t)</math>的傅立葉轉換<math> \sqrt{2^j}\hat{\phi}^*(2^j\omega)</math>主要是在[-2<sup>-j</sup>π，2<sup>-j</sup>π]中，不可忽略不計。 

離散近似 a<sub>j</sub>[n] 是以間隔 2<sup>j</sup> 取樣的 f 低通濾波。 

== 參考資料 ==

# S. Mallat, ''A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way'', Academic Press, 3rd  edition, 2009.<br />

<br />

[[Category:小波分析]]
[[Category:時頻分析]]