查看“︁角動量算符”︁的源代码

{{NoteTA|G1=物理學}}
{{物理算符}}{{量子力学}}
在[[量子力學]]裏，'''角動量算符'''（{{lang-en|'''angular momentum operator'''}}）是一種[[算符 (物理学)|算符]]，類比於經典的[[角動量]]。在[[原子物理學]]涉及[[旋轉對稱性]]（{{lang|en|rotational symmetry}}）的理論裏，角動量算符佔有中心的角色。角動量，[[動量]]，與[[能量]]是物體運動的三個基本特性<ref name="Liboff">Introductory Quantum Mechanics, Richard L. Liboff, 2nd Edition, ISBN 0201547155</ref>。

==簡介==
角動量促使在旋轉方面的運動得以數量化。在孤立系統裏，如同能量和動量，角動量是[[角動量守恆|守恆]]的。在量子力學裏，角動量算符的概念是必要的，因為角動量的計算實現於描述量子系統的[[波函數]]，而不是經典地實現於一點或一[[剛體]]。在量子尺寸世界，分析的對象都是以波函數或[[量子幅]]來描述其[[機率性]]行為，而不是[[命定性]]({{lang|en|deterministic}})行為。

==數學定義==
在[[經典力學]]裏，角動量 <math>\mathbf{L}=(L_x,\ L_y,\ L_z)\,\!</math> 定義為位置 <math>\mathbf{r}=(x,\ y,\ z)\,\!</math> 與動量 <math>\mathbf{p}=(p_x,\ p_y,\ p_z)\,\!</math> 的[[叉積]]：
:<math>\mathbf{L}\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{r}\times\mathbf{p}\,\!</math> 。

在量子力學裏，對應的角動量算符 <math>\hat{\mathbf{L}}\,\!</math> 定義為[[位置算符]] <math>\hat{\mathbf{r}}\,\!</math> 與[[動量算符]] <math>\hat{\mathbf{p}}\,\!</math> 的叉積：
:<math>\hat{\mathbf{L}}\ \stackrel{def}{=}\ \hat{\mathbf{r}}\times\hat{\mathbf{p}}\,\!</math> 。

由於動量算符的形式為
:<math>\hat{\mathbf{p}}= - i\hbar\nabla\,\!</math> 。

角動量算符的形式為
:<math>\hat{\mathbf{L}}= - i\hbar(\hat{\mathbf{r}}\times\nabla) \,\!</math> 。

其中，<math>\nabla\,\!</math> 是[[梯度]]算符。

==角動量是厄米算符==
在量子力學裏，每一個[[可觀察量]]所對應的[[算符]]都是[[厄米算符]]。角動量是一個可觀察量，所以，角動量算符應該也是厄米算符。讓我們現在證明這一點，思考角動量算符的 x-分量 <math>\hat{L}_x\,\!</math> ：
:<math>\hat{L}_x=\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y\,\!</math> 。

其[[伴隨算符]] <math>L_x^{\dagger}\,\!</math> 為
:<math>\hat{L}_x^{\dagger}=(\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y)^{\dagger}=\hat{p}_z^\dagger\hat{y}^{\dagger} - \hat{p}_y^+\hat{z}^{\dagger}\,\!</math> 。
由於 <math>\hat{y}\,\!</math> 、<math>\hat{z}\,\!</math> 、<math>\hat{p}_y\,\!</math> 、<math>\hat{p}_z\,\!</math> ，都是厄米算符，
:<math>\hat{L}_x^{\dagger}=\hat{p}_z\hat{y} - \hat{p}_y\hat{z}\,\!</math> 。

由於 <math>\hat{p}_z\,\!</math> 與 <math>\hat{y}\,\!</math> 之間、<math>\hat{p}_y\,\!</math> 與 <math>\hat{z}\,\!</math> 之間分別相互[[對易關係|對易]]，所以，
:<math>\hat{L}_x^{\dagger}=\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y=\hat{L}_x\,\!</math> 。

因此，<math>\hat{L}_x\,\!</math> 是一個厄米算符。類似地，<math>\hat{L}_y\,\!</math> 與 <math>\hat{L}_z\,\!</math> 都是厄米算符。總結，角動量算符是厄米算符。

再思考 <math>\hat{L}^2\,\!</math> 算符，
:<math>\hat{L}^2=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2\,\!</math> 。

其[[伴隨算符]] <math>(\hat{L}^2)^{\dagger}\,\!</math> 為
:<math>(\hat{L}^2)^{\dagger}=(\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2)^{\dagger}=(\hat{L}_x^2)^{\dagger}+(\hat{L}_y^2)^{\dagger}+(\hat{L}_z^2)^{\dagger}\,\!</math> 。

由於 <math>\hat{L}_x^2\,\!</math> 算符、<math>\hat{L}_y^2\,\!</math> 算符、<math>\hat{L}_z^2\,\!</math> 算符，都是厄米算符，
:<math>(\hat{L}^2)^{\dagger}=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2=\hat{L}^2\,\!</math> 。

所以，<math>\hat{L}^2\,\!</math> 算符是厄米算符。

==對易關係==
{{main|角动量算符对易关系}}
兩個算符 <math>\hat{A}\,\!</math> 與 <math>\hat{B}\,\!</math> 的[[交換算符]] <math>[\hat{A},\ \hat{B}]\,\!</math> ，表示出它們之間的[[對易關係]]。

===角動量算符與自己的對易關係===
思考 <math>\hat{L}_x\,\!</math> 與 <math>\hat{L}_y\,\!</math> 的[[交換算符]]， 

:<math>\begin{align} \left.\right.[\hat{L}_x,\ \hat{L}_y] & = [\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y,\ \hat{z}\hat{p}_x - \hat{x}\hat{p}_z] \\
 & =[\hat{y}\hat{p}_z,\ \hat{z}\hat{p}_x] - [\hat{z}\hat{p}_y,\ \hat{z}\hat{p}_x] - [\hat{y}\hat{p}_z,\ \hat{x}\hat{p}_z]+[\hat{z}\hat{p}_y,\ \hat{x}\hat{p}_z] \\
 & =i\hbar (\hat{x}\hat{p}_y - \hat{y}\hat{p}_x) \\
 & =i\hbar\hat{L}_z \\ \end{align}\,\!</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

由於兩者的對易關係不等於 0 ， <math>L_x\,\!</math> 與 <math>L_y\,\!</math> 彼此是[[可觀察量#不相容可觀察量|不相容可觀察量]]。<math>\hat{L}_x\,\!</math> 與 <math>\hat{L}_y\,\!</math> 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，<math>\hat{L}_x\,\!</math> 的[[本徵態]]與 <math>\hat{L}_y\,\!</math> 的本徵態不同。

給予一個量子系統，量子態為 <math>|\psi\rangle\,\!</math> 。對於可觀察量算符 <math>\hat{L}_x\,\!</math> ，所有本徵值為 <math>\ell_{xi}\,\!</math> 的本徵態 <math>|f_i\rangle,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\,\!</math> ，形成了一組基底量子態。量子態 <math>|\psi\rangle\,\!</math> 可以表達為這基底量子態的[[線性組合]]：<math>|\psi\rangle=\sum_i \ |f_i\rangle\langle f_i|\psi\rangle\,\!</math> 。對於可觀察量算符 <math>\hat{L}_y\,\!</math> ，所有本徵值為 <math>\ell_{yi}\,\!</math> 的本徵態 <math>|g_i\rangle,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\,\!</math> ，形成了另外一組基底量子態。量子態 <math>|\psi\rangle\,\!</math> 可以表達為這基底量子態的線性組合：<math>|\psi\rangle=\sum_i \ |g_i\rangle\langle g_i|\psi\rangle\,\!</math> 。

根據[[哥本哈根詮釋]]，[[量子測量]]可以用[[波函數塌縮|量子態塌縮]]機制來詮釋。假若，我們測量可觀察量 <math>L_x\,\!</math> ，得到的測量值為其本徵值 <math>\ell_{xi}\,\!</math> ，則量子態[[機率]]地[[波函數塌縮|塌縮]]為本徵態 <math>|f_i\rangle\,\!</math> 。假若，我們立刻再測量可觀察量 <math>L_x\,\!</math> ，得到的答案必定是 <math>\ell_{xi}\,\!</math> ，量子態仍舊處於 <math>|f_i\rangle\,\!</math> 。可是，假若，我們改為測量可觀察量 <math>L_y\,\!</math> ，則量子態不會停留於本徵態 <math>|f_i\rangle\,\!</math> ，而會塌縮為 <math>\hat{L}_y\,\!</math> 的本徵態。假若，得到的測量值為其本徵值 <math>\ell_{yj}\,\!</math> ，則量子態[[機率]]地[[波函數塌縮|塌縮]]為本徵態 <math>|g_j\rangle\,\!</math> 。

根據[[不確定性原理]]，
:<math>\Delta L_x\ \Delta L_y \ge \left|\frac{\langle[\hat{L}_x,\ \hat{L}_y]\rangle}{2i}\right|=\frac{\hbar |\langle \hat{L}_z\rangle|}{2}\,\!</math> 。

<math>L_x\,\!</math> 的不確定性與 <math>L_y\,\!</math> 的不確定性的乘積 <math>\Delta L_x\ \Delta L_y \,\!</math> ，必定大於或等於 <math>\frac{\hbar |\langle L_z\rangle|}{2}\,\!</math> 。

<math>L_x\,\!</math> 與 <math>L_z\,\!</math> 之間，<math>L_y\,\!</math> 與 <math>L_z\,\!</math> 之間，也有類似的特性。

===角動量平方算符與角動量算符之間的對易關係===
思考 <math>\hat{L}^2\,\!</math> 與 <math>\hat{L}_z\,\!</math> 的交換算符，
:<math>\begin{align}\left.\right.[\hat{L}^2,\ \hat{L}_z] & = [\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2,\ \hat{L}_z] \\
 & = \hat{L}_x\hat{L}_x\hat{L}_z - \hat{L}_z\hat{L}_x\hat{L}_x+\hat{L}_y\hat{L}_y\hat{L}_z - \hat{L}_z\hat{L}_y\hat{L}_y \\
 & = \hat{L}_x(\hat{L}_z\hat{L}_x - i\hbar\hat{L}_y) - (\hat{L}_x\hat{L}_z+i\hbar\hat{L}_y)\hat{L}_x+\hat{L}_y(\hat{L}_z\hat{L}_y+i\hbar\hat{L}_x) - (\hat{L}_y\hat{L}_z - i\hbar\hat{L}_x)\hat{L}_y \\
 & = 0  \\ \end{align}\,\!</math><span style="vertical-align:bottom">。</span>

<math>\hat{L}^2 \,\!</math> 與 <math>\hat{L}_z\,\!</math> 是[[對易關係|對易的]]，<math>L^2 \,\!</math> 與 <math>L_z\,\!</math> 彼此是[[可觀察量#不相容可觀察量|相容可觀察量]]，兩個算符有共同的本徵態。根據[[不確定性原理]]，我們可以同時地測量到 <math>L^2 \,\!</math> 與 <math>L_z\,\!</math> 的本徵值。

類似地，
:<math>[\hat{L}^2,\ \hat{L}_x] =0\,\!</math> 、
:<math>[\hat{L}^2,\ \hat{L}_y] =0\,\!</math> 。

<math>\hat{L}^2\,\!</math> 與 <math>\hat{L}_x\,\!</math> 之間、<math>\hat{L}^2\,\!</math> 與 <math>\hat{L}_y\,\!</math> 之間，都分別擁有類似的物理特性。

===在經典力學裏的對易關係===
在經典力學裏，角動量算符也遵守類似的對易關係：
:<math>\{L_i,\ L_j\}=\epsilon_{ijk}L_k\,\!</math> ；

其中，<math>\{\ ,\ \}\,\!</math> 是[[帕松括號]]，<math>\epsilon_{ijk}\,\!</math> 是[[列維-奇維塔符號]]，<math>i\,\!</math> 、<math>j\,\!</math> 、<math>k\,\!</math> ，代表直角坐標 <math>(x,\ y,\ z)\,\!</math> 。

==本徵值與本徵函數==
採用[[球坐標]]。展開角動量算符的方程式：

:<math>\begin{align}\hat{\mathbf{L}}
 & = \frac{\hbar}{i}\hat{\mathbf{r}}\times\nabla \\
 & = \frac{\hbar}{i} r\mathbf{e}_r \times \left(\mathbf{e}_r \frac{\partial}{\partial r}+\mathbf{e}_{\theta} \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+
\mathbf{e}_{\phi} \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\right) \\
 & = \frac{\hbar}{i}\left( - \mathbf{e}_{\theta}\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi} +\mathbf{e}_{\phi}\frac{\partial}{\partial \theta}\right) \\ \end{align}
\,\!</math> <span style="vertical-align:bottom">；</span>

其中，<math>\mathbf{e}_r\,\!</math> 、<math>\mathbf{e}_\theta\,\!</math> 、<math>\mathbf{e}_\phi\,\!</math> ，分別為徑向單位向量、天頂角單位向量、與方位角單位向量。

轉換回[[直角坐標]]，
:<math>\hat{\mathbf{L}}=\frac{\hbar}{i}\left[
\mathbf{e}_x \left( - \sin \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)
+\mathbf{e}_y\left(\cos \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)
+\mathbf{e}_z\frac{\partial}{\partial \phi}\right]
\,\!</math> 。

其中，<math>\mathbf{e}_x\,\!</math> 、<math>\mathbf{e}_y\,\!</math> 、<math>\mathbf{e}_z\,\!</math> ，分別為 x-單位向量、y-單位向量、與 z-單位向量。

所以，<math>\hat{L}_x\,\!</math> 、<math>\hat{L}_y\,\!</math> 、<math>\hat{L}_z\,\!</math> 分別是
:<math>\hat{L}_x=\frac{\hbar}{i}\left( - \sin \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\,\!</math> 、
:<math>\hat{L}_y=\frac{\hbar}{i}\left(\cos \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\,\!</math> 、
:<math>\hat{L}_z=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial \phi}\,\!</math> 。

角動量平方算符是
:<math>\hat{L}^2=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2\,\!</math> ；

其中，
:<math>\begin{align}\hat{L}_x^2
 & = - \hbar^2\left( - \sin \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\left( - \sin \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right) \\
 & = - \hbar^2\left(\sin^2\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\cot\theta\cos^2\phi\frac{\partial}{\partial \theta}+\cot\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \phi} - \csc^2\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right. \\ 
\end{align}\,\!</math>

::<math>\left.+\cot\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \phi} - \cot^2\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}+\cot^2\theta\cos^2\phi\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right)\,\!</math>、
 
:<math>\begin{align}\hat{L}_y^2
 & = - \hbar^2\left(\cos\phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\left(\cos \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right) \\
 & = - \hbar^2\left(\cos^2\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\cot\theta\sin^2\phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \phi}+\csc^2\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right. \\ 
\end{align}\,\!</math>

::<math>\left. - \cot\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \phi}+\cot^2\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}+\cot^2\theta\sin^2\phi\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right)\,\!</math> 、 

:<math>\hat{L}_z^2= - \hbar^2\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\,\!</math> 。

經過一番繁雜的運算，終於得到想要的方程式<ref name=Griffiths2004>{{citation| author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |isbn= 0-13-111892-7}}</ref>{{rp|169}}
:<math>\hat{L}^2= - \hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\cot\theta\frac{\partial}{\partial \theta}+(1+\cot^2\theta)\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right)
= - \hbar^2\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right)\,\!</math> 。

滿足算符 <math>\hat{L}^2\,\!</math> 的[[本徵函數]]是[[球諧函數]] <math>Y_{\ell m}\,\!</math> ：
:<math>\hat{L}^2 Y_{\ell m}= \ell(\ell+1)\hbar^2 Y_{\ell m}\,\!</math> ；

其中，[[本徵值]] <math>\ell\,\!</math> 是正整數。

球諧函數也是滿足算符 <math>\hat{L}_z\,\!</math> 微分方程式的本徵函數：
:<math>\hat{L}_z Y_{\ell m}= m\hbar Y_{\ell m}\,\!</math> ；

其中，本徵值 <math>m\,\!</math> 是整數，<math> - \ell \le m \le 0\,\!</math> 。

因為這兩個算符的正則對易關係是 0 ，它們可以有共同的本徵函數。

球諧函數 <math>Y_{\ell m}\,\!</math> 表達為

:<math> Y_{\ell m}(\theta,\ \phi) =(i)^{m+|m|} \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell - m)!\over (\ell+m)!}}  \, P_{\ell m} (\cos{\theta}) \, e^{im\phi}\,\!</math> ；

其中，<math>i\,\!</math> 是[[虛數單位]]，<math>P_{\ell m}(\cos{\theta})\,\!</math> 是[[伴隨勒讓德多項式]]，用方程式定義為
:<math>P_{\ell m}(x) = (1 - x^2)^{|m|/2}\ \frac{d^{|m|}}{dx^{|m|}}P_\ell(x)\,</math> ；

而 <math>P_\ell(x)\,\!</math> 是 <math>\ell</math> 階[[勒讓德多項式]]，可用[[羅德里格公式]]表示為：
:<math>P_\ell(x) = {1 \over 2^\ell \ell!} {d^\ell \over dx^\ell }(x^2 - 1)^\ell</math> 。

球諧函數滿足[[正交歸一性]]：

:<math>\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\ Y_{\ell_1 m_1}Y_{\ell_2 m_2}\sin(\theta)d\theta d\phi=\delta_{\ell_1 \ell_2}\delta_{m_1m_2}\,\!</math> 。 
這樣，角動量算符的本徵函數，形成一組[[單範正交基]]。任意波函數 <math>\psi(\theta,\,\phi)\,\!</math> 都可以表達為這單範正交基的[[線性組合]]：
:<math>\psi(\theta,\,\phi)=\sum_{\ell ,m}\ A_{\ell m}Y_{\ell m}(\theta,\,\phi)\,\!</math> ；

其中，<math>A_{\ell m}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\ Y_{\ell m}^*(\theta,\,\phi)\psi(\theta,\,\phi)\sin(\theta)d\theta d\phi \,\!</math> 。

==參閱==
*[[氫原子]]
*[[球對稱位勢]]
*[[拉普拉斯-龍格-冷次向量]]

==參考文獻==
<references/>

==外部連結==
*圣地牙哥加州大学物理系量子力学視聽教學：[https://web.archive.org/web/20100625001650/http://physicsstream.ucsd.edu/courses/fall2003/physics130b/movies/2003-10-08_full.mov 角動量加法]

[[Category:角動量|J]]
[[Category:物理算符|J]]