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在[[拓撲學]]中，[[拓撲空間]]<math>X</math>的'''覆疊空間'''是一對資料<math>(Y,p)</math>，其中<math>Y</math>是拓撲空間，<math>p: Y \to X</math>是[[連續函數|連續]]的[[滿射]]，並存在<math>X</math>的一組開[[覆盖 (拓扑学)|覆盖]]
:<math>X = \bigcup_{U\in \mathcal{U}} U</math>
使得對每個<math>U \in \mathcal{U}</math>，存在一個離散拓撲空間<math>F</math>及[[同胚]]：<math>\phi_U:   U \times F \simeq p^{-1}(U)</math>，而且<math>p \circ \phi_U: U \times F \to U</math>是對第一個坐標的投影。

滿足上述性質的<math>p: Y \to X</math>稱為'''覆疊映射'''。當<math>X</math>連通時，<math>F</math>的[[基數 (數學)|基數]]是個常數，稱為覆疊的'''次數'''或'''重數'''。

空間<math>X</math>的覆疊構成一個[[範疇論|範疇]]<math>\mathbf{Cov}_X</math>，其對象形如<math>p: Y \to X</math>，從<math>p: Y \to X</math>到<math>q: Z \to X</math>態射是連續映射<math>f: Y \to Z</math>，且<math>q \circ f = p</math>。

==例子==
[[File:Covering map.png|thumb|right|150px|覆疊空間的例子：<math>\mathbb{R} \to \mathbb{S}^1</math>]]
* 考慮映射<math>p: \mathbb{R} \to \mathbb{S}^1</math>，<math>p(x) = e^{2\pi i x}</math>。對任意<math>s=e^{2\pi it} \in \mathbb{S}^1</math>，取其開鄰域
:<math>U := \{e^{2\pi is} : |s-t| < \frac{1}{2} \} \simeq (-1/2, 1/2)</math>
:<math>f: (-1/2, 1/2) \times \mathbb{Z} \stackrel{\sim}{\to} p^{-1}(U), \quad f(t,n) = t+n</math>
由此可見<math>p: \mathbb{R} \to \mathbb{S}^1</math>是覆疊映射。

* [[莫比烏斯帶]]的二重覆疊空間是 <math>\mathbb{S}^1\times [0,1]</math>。

==性质==
局部性质
对于任何一个覆叠<math>p:C \to X</math>都是一个局部同胚，这就是说，对任意的<math>c \in C</math>，都存在一个在C中的开邻域U，和p(c)在X中的开邻域V，使得p在U上的限制诱导U到V上的同胚。这说明C和X在局部上的拓扑性质是一样的。如果X是单连通的且C是连通的，则在整体上也成立，并且覆叠p变为同胚。
纤维上的同胚

==萬有覆疊空間==
連通空間<math>X</math>的'''萬有覆疊空間'''（若其存在）是範疇<math>\mathbf{Cov}_X</math>的[[初始對象]]<math>u: \tilde{X} \to X</math>，換言之，對每個覆疊<math>p: X' \to X</math>，存在唯一的連續映射<math>f: \tilde{X} \to X'</math>使得<math>p \circ f = u</math>。萬有覆疊若存在則必唯一。之前的<math>\mathbb{R} \to \mathbb{S}^1</math>便是一例。

若要求<math>X</math>局部道路連通且局部[[單連通]]，則萬有覆疊空間存在。這類空間的主要例子有[[流形]]和[[單純複形]]。在同樣前提下，覆疊<math>\tilde{X} \to X</math>是萬有覆疊的充要條件是[[基本群]]<math>\pi_1(\tilde{X},*) = \{e\}</math>。

==正則覆疊及主叢==
以下同樣要求<math>X</math>連通、局部道路連通且局部單連通。對於覆疊映射<math>p: Y \to X</math>，選定<math>x \in X</math>。在<math>\mathbf{Cov}_X</math>中的自同構群<math>\mathrm{Aut}(p)</math>在纖維<math>p^{-1}(x)</math>上的作用是自由的（即：<math>\mathrm{Aut}(p) \to \mathrm{Aut}(p^{-1}(x))</math>是單射），對於<math>x \in X</math>的不同選取，此作用僅差個自然的同構。

若<math>\mathrm{Aut}(p)</math>的作用是傳遞的，則稱<math>p: Y \to X</math>為'''正則覆疊'''。萬有覆疊必正則，反之則不然。按照[[纖維叢]]的觀點，覆疊空間正是離散纖維的纖維叢，正則覆疊對應到[[主叢]]。

==文獻==
*{{cite book | first = Allen | last = Hatcher | year = 2002 | title = Algebraic Topology | publisher = Cambridge University Press | id = ISBN 0-521-79540-0 | url = http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html | access-date = 2008-05-15 | archive-date = 2018-05-19 | archive-url = https://web.archive.org/web/20180519001501/http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html | dead-url = no }}

[[Category:拓扑图论]]
[[Category:代数拓扑]]