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在[[數學]]中，'''西格爾模形式'''是[[辛群]]上的[[自守形式]]。西格爾模形式是[[西格爾上半平面]]上的一類多變元[[全純函數]]，[[模形式]]是其特例。在[[模空間]]的意義下，若模形式對應到[[橢圓曲線]]，則西格爾模形式便對應更廣的[[阿貝爾簇]]。

[[卡爾·西格爾]]在1930年代引入這個概念，本意在以[[解析數論]]處理[[二次型]]的問題。西格爾模形式後來也用於[[代數幾何]]、[[橢圓上同調]]及某些[[物理學]]問題，例如[[共形場論]]。

==定義==
固定正整數 <math>g, N</math>。首先定義[[西格爾上半平面]]為
:<math>\mathcal{H}_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{T}=\tau, \textrm{Im}(\tau) >0 \right\}</math>, 
換言之，此即虛部[[正定矩陣|正定]]之[[對稱矩陣]]構成的空間。

再定義一個離散子群
:<math>\Gamma_g(N)=\left\{ \gamma \in GL_{2g}(\mathbb{Z}) \ \big| \ \gamma^{T} \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix} \gamma= \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix} , \ \gamma \equiv I_{2g}\mod N\right\}</math>, 
其中 <math>I_g</math> 表 <math>g \times g</math> 階[[單位矩陣]]。

再設
:<math>\rho:\textrm{GL}(g,\mathbb{C}) \rightarrow \textrm{GL}(V)</math> 
為一有理複[[表示理論|表示]]，這相當於說 <math>\rho</math> 是[[代數簇]]之間的[[有理映射]]，並保持群運算。

現在可以定義西格爾模形式：對任一函數 <math>f: \mathcal{H}_g \to V</math>，我們採用下述符號
:<math>\gamma=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}</math> 
:<math>(f\big|\gamma)(\tau) := (\rho(C\tau+D))^{-1}f(\gamma\tau)</math>. 

所謂權為 <math>\rho</math>、次數為 <math>g</math>、階為 <math>N</math> 的西格爾模形式，是滿足下述條件的全純函數 <math>f: \mathcal{H}_g \to V</math>
:<math>\forall \gamma \in \Gamma_g(N)\; (f\big|\gamma)=f</math>.

當 <math>g=1</math> 時，須要求 <math>f</math> 在無窮遠處全純。對於 <math>g>1</math>，可證明此條件自動成立（Koecher 定理）。

==外部連結==
*[https://web.archive.org/web/20120205185740/http://www.citebase.org/fulltext?format=application%2Fpdf&identifier=oai%3AarXiv.org%3Amath%2F0605346 Gerard van der Geer, Lecture notes on Siegel modular forms (PDF)]

[[Category:模形式]]
[[Category:自守形式]]