查看“︁蚌线”︁的源代码

{{distinguish|合蚌线}}
[[File:尼科美迪斯蚌线.svg|thumb|350px|绿色为直线，黑色为直线外一点，所有红色线段和蓝色线段的长度均相等。紫色和橙色曲线是绿色直线关于黑色点的蚌线，紫色为内支，橙色为外支]]
[[File:Conchoid of Nicomedes ani.gif|thumb|极点和原直线不变、迹距不同的一系列蚌线]]
在[[平面几何]]中，'''蚌线'''是一类[[曲线]]，可以由一条给定的曲线、一个定点和一个给定的长度来确定。更具体地说，过定点 <math>O</math> 的动直线与给定曲线 <math>c</math> 相交，动直线上满足“与交点距离为定长 <math>k</math> ”的点的轨迹定出的新曲线，就是原曲线 <math>c</math> 关于极点 <math>O</math> 和迹距 <math>k</math> 的蚌线。<ref name=Berman/><ref name=Eves/><ref name=JKF>{{cite book|author=姜康甫|author2=吉星|title=几何画的原理和作法|location=上海|publisher=上海科学技术出版社|year=1964|page=289-293}}</ref>

用[[解析几何]]的方式来表述：平面曲线 <math>c</math> 的[[极坐标]]方程为 <math>\rho = f(\theta)</math> ，则以 <math>\rho = f(\theta)\pm k</math> 为方程的曲线是 <math>c</math> 关于[[原点]]的蚌线。<ref name=handbook/>

“蚌线”也常特指原曲线为[[直线]]的蚌线，即'''尼科美迪斯蚌线'''。<ref name=GXY>{{cite book|author=高希尧|title=数学术语详解词典|location=西安|publisher=陕西科学技术出版社|year=1991|isbn=7-5369-0738-9|page=20-21}}</ref>{{tsl|en|Nicomedes (mathematician)|尼科美迪斯}}是古希腊数学家，他利用这种蚌线来解决[[古希腊数学]]三大难题中的两个——[[三等分角]]和[[倍立方体]]。<ref name=Kline/>

==尼科美迪斯蚌线==
[[File:Konchoide gerade.svg|thumb|310px|灰色为直线，黑色为蚌线的极点<br>
{{legend-line|solid red|迹距小于极点与直线的距离，极点与内支分离}}
{{legend-line|solid lime|迹距等于极点与直线的距离，极点是内支的尖点}}
{{legend-line|solid blue|迹距大于极点与直线的距离，极点是内支的结点}}
]]
===性质===
有定直线 <math>l</math> 和直线外一固定点 <math>O</math>，过点 <math>O</math> 的动直线与 <math>l</math> 相交，动直线上满足“与交点距离为定长”的点的轨迹，就是直线 <math>l</math> 关于极点 <math>O</math> 的蚌线 <math>c</math> ，即尼科美迪斯蚌线。一条尼科美迪斯蚌线有内外两支，两支的[[渐近线]]都为 <math>l</math> 。<ref name=handbook/><ref name=GXY/>

通常记 <math>l</math> 与点 <math>O</math> 的距离为 <math>a</math> ，迹距为 <math>b</math>。根据 <math>a</math> 和 <math>b</math> 的关系，内支有三种不同形态：<ref name=handbook/>

*当 <math>b < a</math> 时，蚌线内支没有尖点或结点，极点与内支不相交。
*当 <math>a = b</math> 时，蚌线内支有一个尖点，尖点与极点重合。
*当 <math>b > a</math> 时，蚌线内支有一个结点，结点与极点重合。

尼科美迪斯蚌线是[[轴对称]]图形，对称轴与 <math>l</math> 垂直并通过极点 <math>O</math>。<ref name=JKF/>

===历史和应用===
[[File:Nicomedes.gif|thumb|尼科米迪斯发明的工具，用来绘制直线蚌线的外支]]
[[古希腊数学|古希腊数学家]]{{tsl|en|Nicomedes (mathematician)|尼科美迪斯}}是最早研究蚌线的人。他发明了绘制直线之蚌线的工具，这是人们第一次用仪器绘制出直线和圆之外的几何曲线。他关于蚌线的论著已经失传，只有一部分通过[[帕普斯]]的《数学汇编》得以保存下来。帕普斯指出，存在“四种”蚌线，但只记录了“第一种”蚌线，也就是直线蚌线的外支，用来解决[[尺规作图]]三大难题中的两个：[[三等分角]]和[[倍立方体]]。剩下的“三种”蚌线，很可能指的是直线蚌线内支的三种形态。<ref name=Heath>{{cite book|title=''A History of Greek Mathematics: Volume I, From Thales to Euclid''|author={{le|托马斯·希思|Thomas_Heath_(classicist)|Thomas Heath}}|language=en|year=1921|location=Oxford|publisher=Clarendon Press|url=https://archive.org/details/cu31924008704219|page=238-240, 260-262}}</ref><ref name=Kline>{{cite book|author=[[莫里斯·克莱因]]|others=张理京, 张锦炎, 江泽涵 (译)|title=古今数学思想 第1册|location=上海|publisher=上海科学技术出版社|year=2014|page=95-96|isbn=978-7-5478-1717-9}}</ref>

帕普斯将该曲线称为“螺线”（{{lang|el|κοχλοειδὴς γραμμή}}），这很可能是尼科美迪斯最初的叫法。后来的[[普罗克洛]]等人才改称该曲线为“蚌线”（{{lang|el|κογχοειδὴς γραμμή}}）。<ref name=Heath/>

17世纪的大数学家[[艾萨克·牛顿]]认为蚌线是仅次于直线和圆的、定义第三简洁的曲线，并利用蚌线构造出多种[[三次平面曲线]]。但及至当代，蚌线变得很少被数学家研究和关注。<ref>{{cite EB1911|wstitle=Conchoid|volume=6|pages=826–827|language=en}}</ref><ref>{{cite book|author={{le|大卫·S·里奇森|David Richeson|大卫·S.里奇森}}|others=姜喆 (译)|title=不可能的几何挑战 数学求索两千年|location=北京|publisher=人民邮电出版社|year=2022|isbn=978-7-115-57370-4|page=176-179}}</ref>

====倍立方体====
[[File:蚌线解倍立方体.svg|thumb|借助蚌线作出长度为<math>\sqrt[3]{2}</math>的线段]]
作线段 <math>AB = 1</math> 。以点 <math>A</math> 为[[圆心]]、<math>AB</math> 为[[半径]]作[[圆]]，以点 <math>B</math> 为圆心、<math>AB</math> 为半径作圆，交于点 <math>C</math> 。

过点 <math>A</math> 作线段 <math>AC</math> 的[[垂线]] <math>l</math>。以点 <math>C</math> 为极点、<math>AB</math> 为迹距作直线 <math>l</math> 的蚌线外支。

延长 <math>BA</math> 交蚌线于点 <math>D</math> 。延长 <math>AB</math> 交圆 <math>B</math> 于点 <math>E</math> 。连接 <math>CD</math> 交 <math>l</math> 于点 <math>F</math> 。线段 <math>CF</math> 的长度即为 <math>\sqrt[3]{2}</math> 。<ref name=Heath/>

:{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
! 代数证明
|-
| 
设 <math>CF = x</math> 。显然 <math>x</math> 是正[[实数]]。

因为 <math>\triangle AFC</math> 为直角三角形，所以 <math>AF = \sqrt {CF^2-CA^2}=\sqrt {x^2-1}</math> 。

又因为 <math>\triangle ADF \sim \triangle EDC</math> ，所以 <math>AF = {EC \over CD} \cdot FD={{\sqrt 3} \over x+1}</math> 。

:<math>\sqrt {x^2-1} ={{\sqrt 3} \over x+1}</math>

:<math>(x^2-1)(x+1)^2 = 3 </math>

:<math>x^4+2x^3-2x-4=0</math>

:<math>(x+2)(x^3-2)=0</math> 

:<math>x^3-2=0</math> 

:<math>x=\sqrt[3]{2}</math>
|}

:{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
! colspan="2" | 尼科美迪斯的几何证明
|-
|
:作长方形 <math>ABGH</math> ，<math>AH=BG=2AB=2GH</math> 。
:延长 <math>DH</math> ，延长 <math>BG</math> ，交于点 <math>K</math> 。
:连接 <math>EH</math> ，交 <math>BG</math> 于点 <math>L</math> ，点 <math>L</math> 是 <math>BG</math> 中点。
:取 <math>AB</math> 中点 <math>M</math>，连接 <math>MC</math> 。
| rowspan="5" |[[File:蚌线解倍立方体2.svg|350px]]
|-
|
:<math>AD \cdot BD =(MD-MA)\cdot (MD+MB)</math>

:<math>AD \cdot BD +MA^2 =MD^2</math>

:<math>AD \cdot BD +MA^2 +MC^2=MD^2+MC^2</math>

:<math>AD \cdot BD +AC^2=CD^2</math> 
|-
|
:<math>\triangle KBD \sim \triangle KGH \sim \triangle HAD</math>

:<math>KG:GH = HA:AD</math>

:<math>\because GH=GL ,\ AH=2AB=AE</math>

:<math>\therefore KG:GL = AE:AD =FC:FD</math>

:<math>\because FD =AB=GL</math>

:<math>\therefore KG = FC</math>

:<math>KL=KG+GL=FC+FD=CD</math>

:<math>KL^2=CD^2</math>
|-
|
:<math>KL^2=(KL+GL)\cdot (KL-GL)+GL^2</math>

:<math>KL^2=KB\cdot KG+GL^2</math>

:<math>CD^2=AD \cdot BD +AC^2</math> 

:<math>\therefore KB\cdot KG+GL^2 = AD \cdot BD +AC^2</math>

:<math>KB\cdot KG = AD \cdot BD</math>

:<math>AD:KG=KB:BD=KG:GH=HA:AD</math>
|-
|
:<math> HA:AD=AD:KG=KG:GH</math>

:<math> HA=2GH</math>

:<math>\therefore KG=\sqrt[3]{2}GH</math> <ref name=Heath/>
|}

====三等分角====
[[File:蚌线三等分角.svg|thumb|借助蚌线三等分任意锐角]]
作任意[[直角三角形]] <math>\triangle OAB</math> ，点 <math>A</math> 为垂足。以点 <math>O</math> 为极点、<math>2\ OB</math> 为迹距作直线 <math>AB</math> 的蚌线外支。

过点 <math>B</math> 作直线 <math>AB</math> 的垂线，交蚌线于点 <math>C</math>。 <math>OC</math> 就是 <math>\angle AOB</math> 的三等分线。<ref name=Heath/>

:{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
! 证明
|-
| 
作 <math>OC</math> 与 <math>AB</math> 的交点 <math>D</math> 。取 <math>CD</math> 的中点 <math>E</math> ，连接 <math>BE</math> 。

根据蚌线和直角三角形的性质，可知 <math>OB = CE = DE = BE</math> 。

易证得 <math>\angle BOD = \angle BED = \angle EBC + \angle C = 2 \angle C = 2 \angle AOD </math> 。

故 <math>\angle AOD = {1 \over 3} \angle AOB</math> 。<ref name=Heath/>

|}

===解析几何===
在[[极坐标系]]中，设点 <math>O</math> 为坐标[[原点]]，则直线 <math>l</math> 和蚌线 <math>c</math> 的方程可以表示为：<ref name=handbook/>
:<math>l : \ \rho = a {\sec \theta} </math>
:<math>c : \ \rho = a {\sec \theta} \pm b</math>
:<small><math>(-{\pi \over 2} < \theta < {\pi \over 2} \ , \ a, b \in \mathbb{R}^+)</math></small>

在[[直角坐标系]]中，设点 <math>O</math> 为坐标[[原点]]，则直线 <math>l</math> 和蚌线 <math>c</math> 的方程可以表示为：<ref name=handbook/>
:<math>l : \ x = a</math>
:<math>c : \ (x-a)^2(x^2+y^2)=b^2x^2</math>
:<small><math>(a, b \in \mathbb{R}^+)</math></small>

或用[[参数方程]]表示为：<ref name=handbook/>
:<math>\begin{cases}
x=a \pm b \cos \theta \\
y=a \tan \theta \pm b \sin \theta
\end{cases}</math>
:<small>（上下正负号同号，<math>-{\pi \over 2} < \theta < {\pi \over 2} \ , \ a, b \in \mathbb{R}^+</math>）</small>

尼科美迪斯蚌线是[[四次平面曲线]]。<ref name=handbook>{{cite book|author={{link-ru|伊利亚·尼古拉耶维奇·布龙施泰因|Бронштейн, Илья Николаевич|布隆什坦}}|author2={{link-ru|康斯坦丁·阿道福维奇·谢缅佳耶夫|Семендяев,_Константин_Адольфович|谢缅佳也夫}}|others=罗零, 石峥嵘 (译)|title=数学手册|location=北京|publisher=高等教育出版社|year=1965|page=90-91}}</ref>

==帕斯卡蜗线==
{{main|帕斯卡蜗线}}
[[帕斯卡蜗线]]是一类[[外旋轮线]]，同时也是一类特殊的蚌线，是[[圆]]关于圆上一个定点的蚌线。由于极点在原曲线上，所以蚌线的内支和外支光滑相连为一条曲线。当迹距等于圆的[[直径]]时，就是[[心脏线]]。<ref name=Berman>{{cite book|author={{link-ru|格奥尔基·尼古拉耶维奇·别尔曼|Берман,_Георгий_Николаевич|别尔曼}}|others=越民义 (译)|title=摆线|location=哈尔滨|publisher=哈尔滨工业大学出版社|year=2019|isbn=978-7-5603-5834-5|page=53-60}}</ref><ref name=Eves/>

作圆 <math>O</math> 关于圆上一个定点 <math>A</math> 、迹距等于圆的[[半径]]的蚌线。对于圆上任意一点 <math>B</math>，延长 <math>BO</math> 至圆外，与所作蚌线交于点 <math>C</math>。根据蚌线的性质，易知 <math>\angle ACB = {1 \over 3} \angle AOB</math> 。这条特殊的蚌线被称为{{le|三等分角蜗线|Limaçon_trisectrix}}。<ref name=Eves>{{cite book|author={{le|霍华德·伊夫斯|Howard Eves}}|others=欧阳峰 (译)|title=数学史概论|version=第6版|location=哈尔滨|publisher=哈尔滨工业大学出版社|year=2009|isbn=|page=126}}</ref>

<gallery>
File:Konchoide kreis animation2.gif|圆关于圆上一点、迹距小于圆径的蚌线
File:Konchoide kreis animation.gif|圆关于圆上一点、迹距等于圆径的蚌线，即[[心脏线]]
File:三等分角蜗线.svg|三等分角蜗线
</gallery>

==其他蚌线==
<gallery>
File:圆对于圆外一点的蚌线1.gif|圆对圆外一点的蚌线，迹距大于极点与圆的最大距离。极点与蚌线内支分离
File:圆对于圆外一点的蚌线2.gif|圆对圆外一点的蚌线，迹距等于极点与圆的最大距离。极点为蚌线内支的尖点
File:圆对于圆外一点的蚌线3.gif|圆对圆外一点的蚌线，迹距小于极点与圆的最大距离，大于极点与圆的最小距离。极点为蚌线内支的结点
File:圆对于圆外一点的蚌线4.gif|圆对圆外一点的蚌线，迹距等于极点与圆的最小距离。极点为蚌线内支的尖点
File:圆对于圆外一点的蚌线5.gif|圆对圆外一点的蚌线，迹距小于极点与圆的最小距离。极点与蚌线内支分离
</gallery>

<gallery>
File:Conchoïde d'un cercle (pôle interne).gif|圆对圆内一点的一条蚌线
File:Conchoid parabola.svg|[[抛物线]]对线外一点的一条蚌线
File:Conchoid sinus.png|[[正弦曲线]]对线外一点的一条蚌线
File:Conchoid cubic.svg|立方曲线对线外一点的一条蚌线
File:双曲线一支的蚌线.gif|双曲线一支对线上一点的蚌线
File:椭圆的蚌线.gif|椭圆对于中心、迹距等于半短轴的蚌线，内支有两个重合的尖点
</gallery>

==参考来源==
{{reflist}}

{{几何术语}}

[[Category:四次曲线]]