查看“︁虛數單位”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
}}
[[File:ImaginaryUnit5.svg|thumb|right|200px|虛數單位<math>i</math>在[[複平面]]的位置。橫軸是實數，豎軸是虛數]]
{{高斯整數導航}}
{{Numbers}}
在[[數學]]、[[物理]]及[[工程學]]裏，'''虛數單位'''是指[[二次方程]]<math>x^2 + 1 = 0</math>的解。虽然沒有這樣的[[实数]]可以滿足這個二次方程，但可以通過虛數單位将[[實數]]系統<math>\mathbb{R}</math>延伸至[[复数 (数学)|复数]]系統<math>\mathbb{C}</math>。延伸的主要動機為有很多實[[係數]][[多項式|多項式方程式]]無實數解。例如剛才提到的方程式<math>x^2 + 1 = 0</math>就無實數解。可是倘若我們允許解答為[[虛數]]，那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。虛數單位通常標記為<math>i</math>，但在涉及[[电气工程|电气]]、[[电机工程]]等[[电学]]相关领域时，则往往标记为<math>j</math>，这是为了避免与[[电流]]（记为<math>i(t)</math>或<math>i</math>）相混淆。

==定義==
<div align=right style="float: right;">
{| class="wikitable"
|-
| <math>\ldots</math>
|-
| {{計算結果|i^-3}}
|-
| {{計算結果|i^-2}}
|-
| {{計算結果|i^-1}}
|-
| style="background:#cedff2;" | {{計算結果|i^0}}
|-
| style="background:#cedff2;" | {{計算結果|i^1}}
|-
| style="background:#cedff2;" | {{計算結果|i^2}}
|-
| style="background:#cedff2;" | {{計算結果|i^3}}
|-
| {{計算結果|i^4}}
|-
| {{計算結果|i^5}}
|-
| {{計算結果|i^6}}
|-
| <math>\ldots</math>
|-
|}</div>
虛數單位<math>i</math>定義為[[二次方程式]]<math>x^2 + 1 = 0</math>的兩個根中的一個。這方程式又可等價表達為：
:{{計算結果|hide(x←i);x^2}}。

由於實數的[[平方]]絕不可能是[[負數]]，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號<math>i</math>。很重要的一點是，{{Root|use math=yes|-1}}是一個[[良定義]]的數學構造。

另外，虛數單位同樣可以表示為：
:{{計算結果|result first=yes|sqrt(-1)}}

然而{{計算結果|result first=yes|sqrt(-1)}}往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：

:因為<math>-1 = i\cdot i=\left(\sqrt{-1}\right)\times\left(\sqrt{-1}\right)=\sqrt{\left(-1\right)\times\left(-1\right)}=\sqrt{1}=1</math>，但是-1不等於1。

:但請注意：<math>\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}</math>成立的條件有<math>a</math>,<math>b</math>不能為[[負數]]。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設<math>i</math>是一個未知數，然後依照<math>i</math>的定義，替代任何<math>i^2</math>的出現為-1。<math>i</math>的更高整數冪數也可以替代為<math>-i</math>，<math>1</math>，或<math>i</math>，根據下述方程式：
:<math>i^3 = i^2 i = (-1) i = -i</math>，
:<math>i^4 = i^3 i = (-i) i = -(i^2) = -(-1) = 1</math>，
:<math>i^5 = i^4 i = (1) i = i</math>。

一般地，有以下的公式：
:<math>i^{4n} = 1</math>
:<math>i^{4n+1} = i</math>
:<math>i^{4n+2} = -1</math>
:<math>i^{4n+3} = -i</math>
:<math>i^n = i^{n \bmod 4}</math>

其中<math>\bmod 4</math>表示[[模除|被4除的余数]]。

=={{math|''i''}}和{{math|-''i''}}==
方程<math>x^2 = -1</math>有两个不同的解，它们都是有效的，且互为[[共轭虚数]]及[[倒數]]。更加确切地，一旦固定了[[方程]]的一个解<math>i</math>，那么<math>-i</math>（不等于<math>i</math>）也是一个解，由于这个方程是<math>i</math>的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为<math>i</math>，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然<math>-i</math>和<math>i</math>在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是<math>i</math>和<math>-i</math>之间没有质量上的区别（-1和+1就不是这样的）。在任何的等式中同時將所有i替換為-i，該等式仍成立。

:<math>-i^2 = 1</math>
:<math>-i = i^{-1} = \frac{1}{i}</math>

==正当的使用==
虚数单位有时记为<math>\sqrt{-1}</math>。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如，公式<math>\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}</math>仅对于非负的实数<math>a</math>和<math>b</math>才成立。

假若這個關係在虚数仍成立，則會出現以下情況：
:<math>-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1</math>（不正确）
:<math>-1 = i \cdot i = \pm \sqrt{-1} \cdot \pm \sqrt{-1} = \pm \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \pm \sqrt{1} = \pm 1</math>（不正确）
:<math>\frac{1}{i} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \sqrt{\frac{1}{-1}}  = \sqrt{-1} = i</math>（不正确）

=={{math|''i''}}的运算==
[[Image:Imaginary2Root.svg|thumb|right|200px|虛數單位<math>i</math>的平方根在複平面的位置]]
许多实数的运算都可以推广到<math>i</math>，例如[[平方根]]、[[冪]]、[[对数]]和[[三角函数]]。以下运算除第一项外，均为与<math>i</math>有关的[[多值函数]]，在实际应用时必须指明函数的定义选择在[[黎曼面]]的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

* <math>i</math>的[[平方根]]为：
:<math>\pm \left({\frac{\sqrt{2}}{2}} + {\frac{\sqrt{2}}{2}} i\right) = \pm {\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + i)</math>
:这是因为：
:<math>
\begin{align}
\left[\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)\right]^2 &= \left(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 (1 + i)^2 \ \\
&= \frac{1}{2} (1 + 2i + i^2) \\
&= \frac{1}{2} (1 + 2i -1) \\
&= i
\end{align}
</math>
:使用[[算术平方根]]符号表示：
:<math>\sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)</math>
:其解法為先假設兩實數<math>x</math>及<math>y</math>，使得<math>(x+iy)^2=i</math>，求解<math>x,y</math><ref>[http://www.math.utoronto.ca/mathnet/questionCorner/rootofi.html University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i?] {{Wayback|url=http://www.math.utoronto.ca/mathnet/questionCorner/rootofi.html |date=20110607223806 }} URL retrieved March 26, 2007.</ref>
:* 一个数的<math>ni</math>次幂为：
:<math>x^{ni} = \cos \ln x^n + i \sin \ln x^n</math>
:一个数的<math>ni</math>次方根为：
:<math>\sqrt[ni]{x} = \cos \ln \sqrt[n]{x} - i \sin \ln \sqrt[n]{x}</math>
:利用[[欧拉公式|歐拉公式]]
:<math>i^i = \left[ e^{i (\frac\pi 2 + 2k \pi)} \right]^i = e^{i^2 (\frac{\pi}{2} + 2k \pi)} = e^{-(\frac{\pi}{2} + 2k \pi)}</math>，<math>k \in \mathbb{Z}</math>
:代入不同的<math>k</math>值，可計算出無限多的解。当<math>k=0</math>最小的解是<math>e^{-\frac{\pi}{2}} \approx</math>{{Root|i|-i}}...<ref>"The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.</ref>

* 以<math>i</math>为底的对数为：
:<math>\log_ix = {{2 \ln x} \over i\pi}</math>

* <math>i</math>的[[余弦]]是一个[[实数]]：
:<math>\cos i = \cosh 1 = {{e + \frac{1}{e}} \over 2} = {{e^2 + 1} \over 2e} \approx</math>{{計算|cos(i)}}...

* <math>i</math>的[[正弦]]是[[纯虚数]]：
:<math>\sin i = i\sinh 1  = {{e - \frac{1}{e}} \over 2} i = {{e^2 - 1} \over 2e} i \approx</math>{{計算|sinh(1)}}...<math>i</math>

==在程式語言==
* 大部分的[[程式語言]]都不提供'''虛數單位'''，且[[平方根]][[子程序|函數]](大多為'''sqrt()'''或'''Math.Sqrt()''')的[[參數_(程式設計)|引數]]不可以是[[負數]]，因此，必須自行建立類別後方可使用。
* 但[[Lisp]]的许多实现与方言，如[[Common Lisp]]，内建[[虚数]]和[[複數 (數學)|複數]]的支持。不少[[动态语言]]受其影响，也在语言本身或标准库中支持[[虚数]]和[[複數 (數學)|複數]]，如[[Python]]、[[Ruby]]。
* 一些传统编程语言，如[[C语言]]，也从[[C99]]开始支持[[虚数]]和[[複數 (數學)|複數]]。
* 在[[Matlab]]，'''虛數單位'''的表示方法為'''i'''或'''j'''，但'''i'''和'''j'''在[[for迴圈]]可以有其他用途。
* 在[[Mathematica]]，'''虛數單位'''的表示方法為'''I'''、'''𝕚'''或'''𝕛'''。
* 在[[Maple]]，必須啟用[[虛數]]功能，並選擇用'''i'''還是'''j'''表示'''虛數單位'''。
* [[Go]]語言於第 1.0 版就内建[[虚数]]和[[複數 (數學)|複數]]的支持，變數類型為 <code>complex64</code>和<code>complex128</code><ref>{{cite web
|url=https://go.dev/blog/constants#complex-numbers
|date=2014-08-25
|author=Rob Pike
|title=Constants
|website=The Go Blog
|access-date=2022-05-27
|archive-date=2022-06-28
|archive-url=https://web.archive.org/web/20220628203329/https://go.dev/blog/constants#complex-numbers
}}</ref>。

==註解==
{{reflist}}

==参见==
* [[代數基本定理]]
* [[虚数]]
* [[复平面]]
* [[单位根]]
* [[i]]

==参考文献==
* Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

==外部链接==
* [https://web.archive.org/web/20070930014502/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=640&bodyId=1038 欧拉对多项式的复数根的研究]
* [http://khan-academy.appspot.com/video/i-as-the-principal-root-of--1--a-little-technical?playlist=Algebra  i作為-1的平方根（英文視頻）]{{Dead link|date=2018年6月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=no }}
* [http://khan-academy.appspot.com/video/calculating-i-raised-to-arbitrary-exponents?playlist=Algebra <math>i^{7321}</math>的計算方法舉例（英文視頻）]

[[Category:複數|F]]
[[Category:代數數|F]]
[[Category:負一]]