查看“︁虚数”︁的源代码

{{NoteTA |G1=Math}}
{{Numbers}}
{| class="wikitable" style="float: right; margin-left: 1em; text-align: center;"
|-
|<math>\vdots</math>
|-
|<math>i^{-3} = i</math>
|-
|<math>i^{-2} = -1</math>
|-
|<math>i^{-1} = -i</math>
|-
|style="background:#cedff2;" | <math>i^0 = 1</math>
|-
|style="background:#cedff2;" | <math>i^1 = i</math>
|-
|style="background:#cedff2;" | <math>i^2 = -1</math>
|-
|style="background:#cedff2;" | <math>i^3 = -i</math>
|-
|<math>i^4 = 1</math>
|-
|<math>i^5 = i</math>
|-
|<math>i^6 = -1</math>
|-
|<math>\vdots</math>
|-
|<math>i^n = i^{n \pmod 4}</math>
|}

'''虛數'''是指可以写作[[实数]]与[[虚数单位]]<math>i</math>乘积的[[複數 (數學)|複數]]<ref>{{cite book |title= Fundamentals of waves & oscillations |first= K. |last= Uno Ingard |publisher= Cambridge University Press |year= 1988 |isbn= 0-521-33957-X |chapter= Chapter 2 |page= 38 |url= https://books.google.com/books?id=SGVfGIewvxkC&pg=PA38 |access-date= 2018-06-29 |archive-date= 2021-04-28 |archive-url= https://web.archive.org/web/20210428000727/https://books.google.com/books?id=SGVfGIewvxkC&pg=PA38 |dead-url= no }}</ref>
，並定義其性質為<math>i^2=-1</math>，以此定義，0可被視為同時是實數也是虛數（純虛數）的數值<ref>{{cite book |last= Sinha |first= K.C. |title= A Text Book of Mathematics XI |url= https://books.google.com/books?id=mqdzqbPYiAUC&pg=SA11-PA2 |publisher= Rastogi Publications |isbn= 8171339123 |page= 11.2 |access-date= 2018-06-29 |archive-date= 2021-05-07 |archive-url= https://web.archive.org/web/20210507022621/https://books.google.com/books?id=mqdzqbPYiAUC&pg=SA11-PA2 |dead-url= no }}</ref>。

17世纪著名[[數學家]][[笛卡爾]]所著《幾何學》（{{lang-fr|La Géométrie}}）一書中，命名其為{{lang|fr|nombre imaginaire}}（虛構的數），成為了'''虛數'''（{{lang|en|imaginary number}}）一詞的由來。

後來在[[萊昂哈德·歐拉|歐拉]]和[[卡爾·弗里德里希·高斯|高斯]]的研究之後，發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱[[複數平面]]，複數平面上每一點對應着一個複數。

[[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|複數平面的圖示。虛數位於垂直座標軸之上。]]

==幾何詮釋==
[[File:Rotations on the complex plane.svg|thumb|複數平面上乘以虛數單位表示旋轉九十度]]
在幾何學上，[[複數平面]]的垂直軸表示虛數，它們與代表實數的水平軸垂直。查看虛數的方法之一是參考標準數線：往右側正幅度增長，往左側則負幅度減少。在x軸的0點處，往上升方向可繪製y軸的“正”虛數，然後向上增加；而“負”虛數則往下增加。這個垂直軸通常被稱為“虛數軸”，並被表示為<math>i\mathbb{R}</math>，Im，<math>\mathbb{I}</math>，或<math>\Im</math>。

在該呈現圖示中，乘以{{math|–1}}對應於以原點為中心180度的旋轉。<math>i</math>的乘法對應於“逆時針”方向的90度旋轉，而方程式<math>i^2=-1</math>可被解釋為，如果我們對原點應用兩個90度旋轉，則終了結果是單一個180度旋轉。注意，“順時針”方向的90度旋轉也滿足這種解釋。這反映了<math>-i</math>也解出了方程<math>x^2=-1</math>。一般來說，乘以複數與以複數[[辐角]]圍繞原點的旋轉相同，然後按其大小進行縮放。

==負數的平方根==
{{Further|平方根#负数与複數的平方根}}
我們應該將根號視為求<math>x^2</math>的解，故將一個數[[開根號]]後會有兩個合理的值，此二值互相差一個負號。在將正數開根號時，這兩個值一為正數一為負數，故習慣上直接將根號對應到正值，而負值的解以[[根號]]前加負號來表示。但對其它的數而言開根號沒有自然的對應，<math>\sqrt{-1}</math>實際上代表的是兩個數，分別為<math>+i</math>及<math>-i</math>。但若直接將<math>\sqrt{-1}</math>對應到<math>+i</math>，而<math>-\sqrt{-1}</math>對應到<math>-i</math>也未嘗不可。

==性質==
1. 不同的虛數都是不能比較大小的：<math>1<2\,</math>成立，但<math>1+i<2+i\,</math>和<math>i<2i\,</math>卻均不成立。

舉例說明：（反證法）

假設<math>i>0\,</math>

平方得<math>i^2>0\,</math>

得<math>-1>0\,</math>即可看出矛盾。

再舉例：假設<math>i<0\,</math>

平方得<math>i^2>0\,</math>（不等式兩側同乘假設為負的<math>i</math>，不等式由小於變為大於）

得<math>-1>0\,</math>即可看出矛盾。

因此虛數或者說虛部不爲0的複數不能比較大小。

2. 因爲<math>i^0 = 1\,</math>，<math>i^1 = i\,</math>，<math>i^2 = -1\,</math>，<math>i^3 = -i\,</math>，<math>i^4 = 1\,</math>，<math>\cdots</math>，很容易知道<math>i^n\,</math>（<math>n \in \mathbb{N}\,</math>）是關於指數<math>n\,</math>的[[週期函數]]，最小正[[週期]]是<math>4\,</math>。於是，我們有

:<math>i^1 + i^2 + i^3 + i^4 =0\,</math>

這表示<math>i\,</math>為[[方程]]<math>x+x^2+x^3+x^4 = 0\,</math>的一個根，另三個根分別為<math> -i , -1\,</math>及<math> 0\,</math>。

另外可以證明

:<math>\omega = - \frac {1}{2} + \frac {\sqrt 3}{2} i\,</math>

和

:<math>\overline \omega = - \frac {1}{2} - \frac {\sqrt 3}{2} i\,</math>

爲下列方程的根

:<math>x^2 + x + 1 = 0\,</math>
:<math>x^3 = 1\,</math>

其中，<math>\overline \omega\,</math>稱爲<math>\omega\,</math>的[[共軛虛數]]（或[[共軛複數]]）。

3. 如果再將虛數的這個概念擴展開去，就可以組成[[四元數]]（Quaternion）、[[八元數]]（Octonion）等特殊數學範疇。

== 參見 ==
* [[虛數單位]]
* [[複數 (數學)|複數]]
* [[四元數]]
* [[八元數]]

== 参考资料 ==
{{reflist}}

== 外部链接 ==
*[http://khan-academy.appspot.com/video/introduction-to-i-and-imaginary-numbers?playlist=Algebra 虛數i的介紹]
*[http://khan-academy.appspot.com/video/calculating-i-raised-to-arbitrary-exponents?playlist=Algebra  <math>i^{7321}\,</math>的計算方法舉例]
*[http://khan-academy.appspot.com/video/i-as-the-principal-root-of--1--a-little-technical?playlist=Algebra  i作為-1的平方根]{{Dead link|date=2018年6月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=no }}

{{複數}}
[[Category:複數|複]]