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[[File:Tuoyuanchuizhiqiexian.jpg|缩略图]]
法國數學家[[加斯帕尔·蒙日|加斯帕爾·蒙日]]發現：與橢圓<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>相切的兩條垂直切線的交點的軌跡方程是<math>x^2+y^2 = a^2+b^2</math>。这一结论被称为蒙日圆。

== 證明 ==
設<math>F_1, F_2</math>分別為橢圓的左右焦點，焦距為<math>c</math>。設點<math>M, N</math>分別為點<math>F_1</math>關於<math>PA</math>，<math>F_2</math>關於<math>PB</math>的對稱點。由橢圓的光學性質{{efn| 经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。}}知<math>F_2</math>，<math>A</math>，<math>M
</math>及<math>F_1</math>，<math>B</math>，<math>N</math>分別三點共線，由橢圓定義有<math>MF_2 = NF_1 = 2a</math>。設<math>F_1M</math>交直線<math>PA</math>于點<math>Q</math>，<math>F_2N</math>交直線<math>PB</math>於點<math>S</math>，分別延長<math>MF_1</math>，<math>NF_2</math>交於點<math>R</math>，則<math>OQ =  \frac{1}{2} MF_2 = \frac{1}{2} NF_1 = OS = a </math>，<math>OR =  \frac{1}{2} F_1F_2 = c</math>。在矩形<math>PQRS</math>中，由平面幾何知識易知<math>OP^2 + OR^2 = OQ^2 + OS^2</math>，於是<math>OP^2 = OQ^2 + OS^2 - OR^2 = a^2 + b^2</math>。

== 在雙曲線中的結論 ==
與雙曲線<math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0)</math>相切的兩條垂直切線的交點的軌跡方程是<math>x^2+y^2 = a^2 - b^2</math>。

== 在拋物線中的結論 ==
與拋物線<math>y^2 = 2px (p>0)</math>相切的兩條垂直切線的交點的軌跡方程是<math>x = -\frac{p}{2}</math>(可以看成是半徑無窮大的圓)。

== 註釋 ==
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[[Category:曲線]]
[[Category:圓錐曲線]]