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'''莱维过程'''（Lévy process）源于[[法国]][[数学家]][[保羅·皮埃爾·萊維]]，是连续时间上的一种拥有独立稳定增量的左极限右连续（Càdlàg）的随机过程。著名的例子有'''维纳过程'''和'''泊松过程'''。

==定义==
一个[[随机过程]]<math>X=\{X_t:t \geq 0\}</math>是一个莱维过程如果符合以下条件：
# <math>X_0=0 \,</math> [[几乎处处|几乎确定]]。
# '''独立增量'''：对任何<math>0 \leq t_1 < t_2<\cdots <t_n <\infty</math>, <math>X_{t_2}-X_{t_1}, X_{t_3}-X_{t_2},\dots,X_{t_n}-X_{t_{n-1}}</math>[[统计独立性|相互独立]]。
# '''稳定增量'''：对任何<math>s<t \,</math>, <math>X_t-X_s \,</math>与<math>X_{t-s} \,</math>有相同[[概率分布|分布]]
# <math>t \mapsto X_t</math> is [[几乎处处|几乎确定]][[右连左极函数|右连左极]].

==性质==

===独立增量===

设''X''<sub>''t''</sub>是一个连续时间上的随机过程。也就是说，对于任何固定的''t'' ≥ 0，''X''<sub>''t''</sub>是一个随机变量。过程的'''增量'''为差值''X''<sub>''s''</sub> − ''X''<sub>''t''</sub>（任意的时间''t'' < ''s''）。 '''独立增量'''意味着对于任何时间''s'' > ''t'' > ''u'' > ''v''，''X''<sub>''s''</sub> − ''X''<sub>''t''</sub>和''X''<sub>''u''</sub> − ''X''<sub>''v''</sub>相独立。

=== 稳定增量 ===

如果增量''X''<sub>''s''</sub> − ''X''<sub>''t''</sub>的分布只依赖于时间间隔''s'' − ''t''，则称增量是稳定的。

例如，对于[[维纳过程]]，增量''X''<sub>''s''</sub> − ''X''<sub>''t''</sub>服从均值为0，方差为''s'' − ''t''的[[正态分布]]。

对于[[泊松过程]]，增量''X''<sub>''s''</sub> − ''X''<sub>''t''</sub>服从指数为''s'' − ''t''的[[泊松分布]]

=== 可分性 ===

莱维过程与无限可分分布有关：
* 增量的分布是无穷可分的。即对任意给定的''n''，''X''<sub>''t''</sub>的分布可以表示为n个与''X''<sub>''t/n''</sub>同分布的随机变量的和的分布。
* 反之，对于每个无穷可分的分布，可以构造出一个与之对应的Lévy过程。

=== 矩 ===

当莱维过程的''n''阶矩<math>\mu_n(t) = E(X_t^n)</math>存在有限时， 它满足二项式等式：

:<math>\mu_n(t+s)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} \mu_k(t) \mu_{n-k}(s).</math>

==例子==

=== 维纳过程 ===
'''定义'''<br>
''X''为[[维纳过程]]（或者标准布朗运动） 当且仅当
# 对任何<math>\scriptstyle t\geq 0 </math>， 随机变量<math>X_t</math>服从[[正态分布]]<math>\scriptstyle \mathcal N(0,t)</math>,
# 它的轨迹是几乎处处连续的；即， 对于几乎所有的事件<math>\scriptstyle \omega</math>，关于''t''的函数<math>\scriptstyle \omega \mapsto X_t(\omega)</math>是连续的。

'''性质'''
* 它的[[傅立叶变换]]为：
:<math>\mathbb{E}\Big[e^{i\theta X_t} \Big] = \exp \left( - \frac{1}{2}t\theta^2 \right) </math>

其他性质可参考词条[[布朗运动]]。

=== 复合泊松过程 ===
'''定义'''<br>
''X''为一个实参数为<math>\scriptstyle c\geq 0</math>，测度为<math>\scriptstyle \nu</math> {{le|复合泊松过程|Compound Poisson process}}当且仅当它的[[傅立叶变换]]为：
: <math>\mathbb{E}\Big[e^{i\theta X_t} \Big] = \exp \left( ct \left(\int_{\mathbb R} e^{i\theta x}\nu(dx) -1\right)\right) </math>.

'''性质'''
* 参数为  <math>\scriptstyle c\geq 0</math>，测度为{{le|Dirac测度|Dirac measure}}<math>\scriptstyle \nu=\delta_1</math>的复合泊松过程为[[泊松过程]].
* 设''N''为参数为<math>\scriptstyle c\geq 0</math>的泊松过程，<math>\scriptstyle S_n=\sum_{k=0}^n Y_k</math>为一个[[随机游走]]（<math>\scriptstyle Y_1</math>的分布为<math>\scriptstyle \nu</math>），那么<math>\scriptstyle X_t=S_{N_t}</math>为一个复合泊松过程。

==参阅==
*[[独立同分布]]
*[[维纳过程]]
*[[泊松过程]]
*[[马尔可夫链]]

==参考来源==
翻译自英语、法语版维基词条。

Ken-iti Sato. Lévy Processes and Inﬁnitely Divisible Distributions,Cambridge University Press, 1999

{{Stochastic processes}}

{{Authority control}}
[[Category:随机过程]]