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[[Image:Fresnel Integrals (Unnormalised).svg|right|thumb|250px|<font color=#b30000>S(x)</font>與<font color=#00b300>C(x)</font>。]]
'''菲涅耳積分'''，常被寫作 ''S''(''x'')和''C''(''x'')。以[[奧古斯丁·菲涅耳]]為名。

== 定義 ==
菲涅耳積分可由下面兩個[[級數]]求得，對所有x均[[收斂]]。
:<math>S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)},</math>
:<math>C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}.</math>

== 羊角螺线 ==
{{main|羊角螺线}}

=== 估計值 ===
[[Image:Fresnel Integral Contour.svg|right|250px|thumb|用來計算Fresnel integrals的扇形路徑]]
''C''和''S''的值當變數趨近於無窮大時，可用複變分析的方法求得。用以下這個函數的[[路徑積分]]：

:<math>e^{-z^2}</math>

在複數平面上的一個扇型的邊界，其中下邊繞著正''x''軸，上半邊是沿著''y''&nbsp;=&nbsp;''x'', ''x'' ≥ 0的路徑，外圈則是一個半徑為R，中心在原點的弧形。

當''R''趨近於無窮大時，路徑積分沿弧形的部分將趨近於零<ref>{{cite web|last=Beatty|first=Thomas|title=How to evaluate Fresnel Integrals|url=http://www.thomasbeatty.com/MATH%20PAGES/ARCHIVES%20-%20NOTES/Complex%20Variables/How%20to%20evaluate%20Fresnel%20Integrals.pdf|work=FGCU MATH - SUMMER 2013|accessdate=27 July 2013|archive-date=2015-02-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20150207095544/http://www.thomasbeatty.com/MATH%20PAGES/ARCHIVES%20-%20NOTES/Complex%20Variables/How%20to%20evaluate%20Fresnel%20Integrals.pdf|dead-url=no}}</ref>，而實數軸部分的積分將可由[[高斯積分]]

:<math> \int_{y-axis}^{} e^{-z^2}dz = \int_{0}^{\infty} e^{-t^2}dt =\frac{\sqrt{\pi}}{2}, </math>

並且經過簡單的計算後，第一象限平分線的那條積分便可以變成菲涅耳積分。
:<math> \int_{slope}^{} \exp(-z^2)dz = \int_{0}^{\infty} \exp(-t^2e^{i\pi/2})e^{i\pi/4}dt = 
e^{i\pi/4} (\int_{0}^{\infty} \cos(-z^2)dz+i\int_{0}^{\infty} \sin(-z^2)dz)</math>

:<math>\int_{0}^{\infty} \cos t^2\,\mathrm{d}t = \int_{0}^{\infty} \sin t^2\,\mathrm{d}t = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.</math>

==相关公式==
下列一些包含菲涅耳積分的关系式<ref>Abromowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions,p303-305, 1972 Natinal Bureau of Standards</ref>
*<math> \int_{0}^{\infty} e^{-at}\sin(t^2)\mathrm dt=\frac14*\sqrt{2\pi}*(\cos\frac{a^2}4*(1-2*{\rm FresnelC}((1/2)*a*\sqrt2/\sqrt{\pi}))+\sin\frac{a^2}4*(1-2*\mathrm{FresnelS}((1/2)*a*\sqrt{2}/\sqrt{\pi})))         </math>
*<math> \int\sin(ax^2+2bx+c)\mathrm dx=\frac{ \sqrt{2\pi}*(\cos((b^2-a*c)/a)*{\rm FresnelS}(\sqrt{2}(ax+b)/(\sqrt{\pi a}))-\sin((b^2-a*c)/a)*{\rm FresnelC}(\sqrt{2}(ax+b)/(\sqrt{\pi a}))) }{2\sqrt{a}}      </math>
*<math>\int\mathrm{FresnelC}(t)\mathrm dt=\mathrm{FresnelC}(t)*t-\frac{\sin\frac{\pi t^2}2}{\pi}           </math>
*<math> \int\mathrm{FresnelS}(t)\mathrm dt=\mathrm{FresnelS}(t)*t+\frac{\cos\frac{\pi t^2}2}{\pi}          </math>
*<math> \frac{\mathrm d~\mathrm{FresnelC}(t)}{\mathrm dt}=\cos\frac{\pi t^2}2          </math>
*<math> \frac{\mathrm d~\mathrm{FresnelS}(t)}{\mathrm dt}=\sin\frac{\pi t^2}2          </math>

== 關聯條目 ==
* [[奥古斯丁·菲涅耳]]
* [[羊角螺线]]

==參考資料==
{{reflist}}

[[Category:積分]]
[[Category:螺線]]
[[Category:光學]]
[[Category:特殊超幾何函數]]