查看“︁莱默平均”︁的源代码

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{{Expert needed|subject=数学|time=2023-08-07T05:34:55+00:00}}
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'''莱默平均'''（{{lang|en|Lehmer mean}}）是一种与[[幂平均]]类似的广义平均数，由美国数学家[[德里克·亨利·莱默]]提出。

== 定义 ==
若 <math>p</math> 是任意[[实数]]，则可定义正实数组 <math>\mathbf{x}</math> 
的 <math>p</math> 次'''莱默平均'''为
:<math>L_p(\mathbf{x}) = \frac{\sum_{k=1}^n x_k^p}{\sum_{k=1}^n x_k^{p-1}}.</math>
若 <math>w_k</math> 是一组正实数，则可定义加权莱默平均为
:<math>L_{p,w}(\mathbf{x}) = \frac{\sum_{k=1}^n w_k\cdot x_k^p}{\sum_{k=1}^n w_k\cdot x_k^{p-1}}.</math>

== 性质 ==
莱默平均可以看成是关于幂指数的函数，定义莱默平均函数 <math>p \mapsto L_p(\mathbf{x})</math> ，则莱默平均函数的导数是非负的：

: <math>
  \frac{\partial}{\partial p} L_p(\mathbf{x}) =
  \frac
    {\left(\sum_{j=1}^n \sum_{k=j+1}^n
         \left[x_j - x_k\right] \cdot \left[\ln(x_j) - \ln(x_k)\right] \cdot \left[x_j \cdot x_k\right]^{p-1}\right)}
    {\left(\sum_{k=1}^n x_k^{p-1}\right)^2}
\geq 0</math>

因此，莱默平均函数是单调增函数且有如下'''莱默平均不等式'''：

: <math>p \le q \rightarrow L_p(\mathbf{x}) \le L_q(\mathbf{x})</math>

加权形式亦有此结论。

== 特例 ==

*<math>\lim_{p \to -\infty} L_p(\mathbf{x})</math> 即<math>\mathbf{x}</math>这组数的[[最小值]].
*<math>L_0(\mathbf{x})</math>即[[调和平均数]].
*<math>L_\frac{1}{2}\left((x_1, x_2)\right)</math>即 <math>x_1</math> 和<math>x_2</math>的[[几何平均数]]  .
*<math>L_1(\mathbf{x})</math> 即 [[算术平均数]].
*<math>L_2(\mathbf{x})</math> 即{{en-link|反调和平均数|contraharmonic mean}}.
*<math>\lim_{p \to \infty} L_p(\mathbf{x})</math> 即<math>\mathbf{x}</math>这组数的[[最大值]].{{pb}}

== 参见条目 ==
* [[平均]]
* [[幂平均]]
* [[平方平均]]
* [[算术平均]]
* [[几何平均]]
* [[调和平均]]
* [[海伦平均]]（Heronian mean）
* [[算术几何平均不等式]]
[[分類:平均數]]