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[[File:Morley triangle.png|right|200px]]

在[[欧几里得幾何]]中，'''莫雷角三分線定理'''（Morley's theorem）說明對所有的[[三角形]]，其三個[[内角]]作[[三等分角|角三分線]]，靠近公共边三分線的三個交點，是一個[[等邊三角形]]。此定理由[[法蘭克·莫雷]]在1899年發現。对[[外角]]作外角三分線，也會有类似的性质，可以再作出4個等邊三角形。

此定理沒辦法用[[尺規作圖]]作出其[[等邊三角形]]，因為已經證明出[[尺規作圖]]無法作出[[三等分角]]。

==證明==

===引理===
由[[三角恆等式#倍角公式和半角公式|三倍角公式]]及[[三角恆等式#角的和差恒等式|和差公式]]可得出：
:<math>\sin3\theta \equiv 4\sin\theta\sin(60^\circ+\theta)\sin(120^\circ+\theta)</math>
===引理證明===
:<math>\sin3\theta = 3\sin\theta-4\sin^3\theta</math>
:<math>= \sin\theta(3-4\sin^2\theta)= \sin\theta(3\cos^2\theta-\sin^2\theta)</math>
:<math>= \sin\theta(\sqrt{3}\cos\theta+\sin\theta)(\sqrt{3}\cos\theta-\sin\theta)</math>
:<math>= 4\sin\theta(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\tfrac{1}{2}\sin\theta)(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta-\tfrac{1}{2}\sin\theta)</math>
:<math>= 4\sin\theta\sin(60^\circ+\theta)\sin(120^\circ+\theta)</math>

[[File:Morley Proof.svg|thumb|right|480px|莫雷角三分線定理證明]]

===定理證明===

在<math>\triangle ABC</math>中：
:<math>\alpha</math>是<math>\angle A</math>的三等分角
:<math>\beta</math>是<math>\angle B</math>的三等分角
:<math>\gamma</math>是<math>\angle C</math>的三等分角

作6條角三分線分別為<math>\overline{BX}</math>、<math>\overline{XC}</math>、<math>\overline{CY}</math>、<math>\overline{YA}</math>、<math>\overline{AZ}</math>、<math>\overline{ZB}</math>，作<math>D</math>、<math>E</math>、<math>F</math>在<math>\overline{BC}</math>上，且<math>\overline{BC}\bot\overline{XD}</math>、<math>\angle BXE = \angle CXF = 60^\circ</math>

容易得出<math>\alpha+\beta+\gamma = 60^\circ</math>，由此等式還可以得出以下三式：
:<math>\angle BXC = 120^\circ+\alpha</math>
:<math>\angle CYA = 120^\circ+\beta</math>
:<math>\angle AZB = 120^\circ+\gamma</math>

由[[正弦定理]]可得出：
:<math>\sin (120^\circ+\beta) = \frac{\overline{AC}\sin \gamma}{\overline{AY}}</math>
:<math>\sin (120^\circ+\gamma) = \frac{\overline{AB}\sin \beta}{\overline{AZ}}</math>

從這裡可以得出<math>\triangle XEF</math>的三個內角，計算出<math>\angle XEF</math>和<math>\angle XFE</math>的[[正弦]]值：
:<math>\angle EXF = \alpha</math>
:<math>\angle XEF = 60^\circ+\beta \Rightarrow \sin (60^\circ+\beta) = \tfrac{\overline{XD}}{\overline{XE}}</math>
:<math>\angle XFE = 60^\circ+\gamma \Rightarrow \sin (60^\circ+\gamma) = \tfrac{\overline{XD}}{\overline{XF}}</math>

我們知道：
:<math>\overline{AB}\sin 3\beta = \overline{AC}\sin 3\gamma</math>

從引理我們可以得出：
:<math>\overline{AB}4\sin\beta\sin(60^\circ+\beta)\sin(120^\circ+\beta) = \overline{AC}4\sin\gamma\sin(60^\circ+\gamma)\sin(120^\circ+\gamma)</math>
:<math>\overline{AB}\sin\beta\frac{\overline{XD}}{\overline{XE}}\frac{\overline{AC}\sin \gamma}{\overline{AY}} = \overline{AC}\sin\gamma\frac{\overline{XD}}{\overline{XF}}\frac{\overline{AB}\sin \beta}{\overline{AZ}}</math>

化簡後得出：
:<math>\frac{\overline{XE}}{\overline{XF}} = \frac{\overline{AZ}}{\overline{AY}} \Rightarrow \triangle XEF \approx \triangle AZY</math>

因為<math>\triangle XEF</math>和<math>\triangle AYZ</math>相似，所以可得出：
:<math>\angle AZY = \angle XEF = 60^\circ+\beta</math>
:<math>\angle AYZ = \angle XFE = 60^\circ+\gamma</math>

同理可得出：
:<math>\angle BZX = 60^\circ+\alpha</math>
:<math>\angle CYX = 60^\circ+\alpha</math>

綜合以上結果，可得出<math>\angle XZY = \angle XYZ = 60^\circ</math>，因此<math>\triangle XYZ</math>是等邊三角形

==推廣==
更一般的莫雷角三分線定理由Taylor和Marr於1914年發表，將6條角三分線順時鐘和逆時鐘旋轉120°，其交點共可得出27個不同的等邊三角形。

==參見==
*[[三等分角]]
*[[三角恆等式]]

==參考資料==
*Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 253-256, 1929.
* [http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/index.shtml Morley's Miracle — Several proofs of Morley's theorem] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/index.shtml |date=20210505154122 }}
* [http://mathworld.wolfram.com/MorleysTheorem.html Morleys Theorem] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/MorleysTheorem.html |date=20210507030550 }} MathWorld
* [https://archive.today/20130111044653/http://www.mathpages.com/home/kmath376/kmath376.htm Morley's Trisection Theorem] MathPages

[[Category:三角形几何]]
[[Category:几何定理|M]]