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{{NoteTA
| G1=Math
}}
'''莫雷拉定理'''是一个用来判断函数是否[[全纯]]的定理。

如果''f''是一个[[连续]]的-{zh-cn:复;zh-tw:複}-值函数，定义在[[复平面]]上的[[开集]]''D''内，且对于所有''D''内的闭曲线''C''，都满足

:<math>\oint_C f(z)\,dz = 0</math>

则''f''在''D''内是全纯的。

莫雷拉定理的假设等于是说''f''在''D''内具有原函数。

该定理的逆命题不一定成立。全纯函数在定义域内并不一定有[[原函数]]，除非加上更多条件。例如，[[柯西积分定理]]说明全纯函数沿着一条[[闭曲线]]的[[路径积分]]为零，只要函数的定义域是[[单连通]]的。

== 证明 ==
莫雷拉定理有一个相对简单的证明。不失一般性，我们可以假设''D''是[[连通空间|连通]]的。固定''D''内的一个点''a''，并定义''D''内的一个-{zh-cn:复;zh-tw:複}-值函数''F''：

:<math>F(b) = \int_a^b f(z)\,dz.\,</math>

这个积分可以是沿着''D''内从''a''到''b''的任何一条路径。函数''F''是定义良好的，因为根据假设，''f''沿着从''a''到''b''的任何两条曲线的积分一定是相等的。根据[[微积分基本定理]]，可知''F''的[[导数]]是''f''：

:<math>F'(z) = f(z).\,</math>

特别地，函数''F''是全纯的。则''f''也一定是全纯的，因为它是全纯函数的导数。

== 应用 ==

=== 一致极限 ===
假设''f''<sub>1</sub>,&nbsp;''f''<sub>2</sub>,&nbsp;...是一个全纯函数的序列，在开圆盘内[[一致收敛]]于连续函数''f''。根据[[柯西积分定理]]，可知對每個''n''，順著任意圓盤內的閉曲線''C''，

:<math>\oint_C f_n(z)\,dz = 0</math>

而一致收斂則意指，對每個閉曲線''C''，

:<math>\oint_C f(z)\,dz = \lim_{n\rightarrow\infty} \oint_C f_n(z)\,dz = 0 </math>

，因此根据莫雷拉定理，''f''　一定是全纯函数。這個事實可以用來證明對每一個[[開集]]Ω&nbsp;⊆&nbsp;'''C'''，由所有有界[[解析函數]]''u''&nbsp;:&nbsp;Ω&nbsp;→&nbsp;'''C''' 所組成的集合''A''(Ω) 會是一個在最小上界範數下的複巴拿赫空間。

=== 无穷级数和积分 ===
莫雷拉定理可以用于证明由级数或积分所定义的函数的解析性，例如[[黎曼ζ函数]]：

:<math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}</math>

或[[伽玛函数]]：

:<math>\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha-1} e^{-x}\,dx.</math>

== 参考文献 ==
* {{Citation
 | last = Ahlfors
 | first = Lars
 | date = January 1, 1979
 | title = Complex Analysis
 | publisher = McGraw-Hill
 | isbn = 978-0070006577
}}
* {{Citation
 | last = Conway
 | first = John B.
 | date = April 1, 2001
 | title = Functions of One Complex Variable I
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | publisher = Springer
 | isbn = 978-3540903284
}}
* G. Morera, "Un teorema fondamentale nella teoria delle funzioni di una variabile complessa", ''Rend. del R. Instituto Lombardo di Scienze e Lettere'' (2) '''19''' (1886) 304–307
* {{Citation
 | last = Rudin
 | first = Walter
 | date = May 1, 1986
 | title = Real and Complex Analysis
 | publisher = McGraw-Hill
 | isbn = 978-0070542341
}}

== 外部链接 ==
* {{MathWorld | urlname= MorerasTheorem | title= Morera’s Theorem }}
* [https://web.archive.org/web/20061209233645/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/LiouvilleMoreraGaussMod.html 莫雷拉定理的教程]

[[Category:复分析定理]]