查看“︁范数”︁的源代码

{{NoteTA|G1=math}}
{{Not|範數 (域論)}}
[[File:Vector norms.svg|thumb|拥有不同范数的[[單位圓]]]]
'''范数'''（{{lang-en|Norm}}），是具有“长度”概念的[[函數|函数]]。在[[線性代數|线性代数]]、[[泛函分析]]及相关的数学领域，是一个[[函數|函数]]，其为[[向量空間|向量空间]]内的所有[[向量]]赋予非零的正'''长度'''或'''大小'''。另一方面，'''半范数'''（{{lang-en|seminorm}}）可以为非零的[[向量]]赋予零长度。

举一个简单的例子，一个二维度的[[歐幾里得空間|欧几里得空间]] <math>\R^2</math> 就有欧氏范数。在这个[[向量空間|向量空间]]的元素（譬如：<math>(3, 7)</math>）常常在[[直角坐标系|笛卡尔坐标系统]]被画成一个从原点出发的箭号。每一个[[向量]]的欧氏范数就是箭号的长度。

拥有范数的[[向量空間|向量空间]]就是[[賦範向量空間|赋范向量空间]]。同样，拥有半范数的[[向量空間|向量空间]]就是赋半范向量空间。

==定义==
假设 <math>V</math> 是域 <math>\mathbb{F}</math> 上的[[向量空間|向量空间]]；''<math>V</math>'' 的'''半范数'''是一个函数 <math>p:V\to\mathbb{R}; x\mapsto{}p(x)</math>，满足：

<math>\forall a \in \mathbb{F}, \forall u,v \in V</math>,
# <math>p(v) \ge 0 </math>（具有半正定性）
# <math>p(a v) = |a| p(v)</math>（具有绝对一次齐次性）
# <math>p(u + v) \le p(u) + p(v)</math>（满足[[三角不等式]]，或称[[次可加性]]）

'''范数'''是一个'''半范数'''加上额外性质：
:4. <math>p(v)=0</math>，当且仅当 <math>v</math> 是[[零向量]]（[[正定性]]）

如果拓扑向量空间的[[拓撲空間|拓扑]]可以被范数导出，这个[[拓撲向量空間|拓扑向量空间]]被称为[[賦範向量空間|赋范向量空间]]。

==例子==
* 所有范数都是半范数。
* 平凡半范数，即 <math>p(x) = 0, \forall x \in V</math>。
* [[绝对值]]是[[实数]]集上的一个范数。
* 对向量空间上的[[Seminorm|次线性型]] <math>f</math> 可定义一个半范数：<math>\boldsymbol x \to |f(\boldsymbol x)|</math>。

===绝对值范数===
[[绝对值]]范数为
:<math>\|\boldsymbol{x}\|=\sum_i^n|x_i|</math>
是在由实数或虚数构成的一维向量空间中的范数。

绝对值范数是[[曼哈頓距離|曼哈顿范数]]的特殊形式。

===欧几里得范数===
{{Main|欧几里德距离}}
在 <math>n</math> 维[[欧几里德空间|欧几里得空间]] <math>\mathbb R ^n</math> 上，向量 <math>\boldsymbol x = (x_1,x_2,\,\ldots\,,x_n)^{\mathrm T}</math> 的最符合直觉的长度由以下公式给出
:<math>\|\boldsymbol{x}\|_2 := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}.</math>
根据[[勾股定理]]，它给出了从原点到点 <math>\boldsymbol x</math> 之间的（通常意义下的）距离。欧几里得范数是 <math>\mathbb R ^n</math> 上最常用的范数，但正如下面举出的，<math>\mathbb R ^n</math> 上也可以定义其他的范数。然而，以下定义的范数都定义了同一个拓扑结构，因此它们在某种意义上都是等价的。

在一个 ''<math>n</math>'' 维复数空间 <math>\mathbb C ^n</math> 中，最常见的范数是：
:<math>\|\boldsymbol{z}\| := \sqrt{|z_1|^2 + \cdots + |z_n|^2}= \sqrt{z_1 \bar z_1 + \cdots + z_n \bar z_n}.</math>

以上两者又可以以向量与其自身的[[内积]]的[[平方根]]表示：
:<math>\|\boldsymbol{x}\| := \sqrt{\boldsymbol{x}^* \boldsymbol{x}},</math>
其中 '''''<math>\boldsymbol{x}</math>''''' 是一个[[列向量]]（<math>[x_1,x_2,\,\ldots\,,x_n]^{\mathrm T}</math>），而 <math>\boldsymbol x ^ *</math> 表示其[[共轭转置]]。

以上公式适用于任何[[内积空间]]，包括欧式空间和复空间。在欧几里得空间里，内积等价于点积，因此公式可以写成以下形式：
:<math>\|\boldsymbol{x}\| := \sqrt{\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{x}}.</math>

特别地，<math>\mathbb R ^{n+1}</math> 中所有的欧几里得范数为同一个给定正实数的向量的集合是一个 [[N维球面|''n'' 维球面]]。

====复数的欧几里得范数====

如果将[[复平面]]看作[[欧几里得平面]] <math>\mathbb R ^2</math>，那么[[复数 (数学)|复数]]的欧几里得范数是其[[复数 (数学)#絕對值、共軛與距離|绝对值]]（又称为'''模'''）。这样，我们可把 <math>x+i\,y</math> 视为欧几里得平面上的一个向量(稱[[等距同構]])，由此，这个向量的欧几里得范数即为 <math>\sqrt{x^2 +y^2}</math>（最初由[[欧拉]]提出）。

==参见==
* [[內積|内积]]
* [[賦範向量空間|赋范向量空间]]
* [[矩陣範數|矩阵范数]]
* [[曼哈頓距離|曼哈顿距离]]
* [[Lp范数|Lp 范数]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
{{ReflistH}}
* {{cite book
  |last = Bourbaki |first = Nicolas |author-link = Nicolas Bourbaki
  | title = Topological vector spaces 
  |url = https://archive.org/details/topologicalvecto0000nbou | year = 1987 
  | chapter = Chapters 1–5 
  | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]] 
  | isbn = 3-540-13627-4 
  | ref = harv 
  }}
* {{cite book
  | last = Prugovečki | first = Eduard 
  | title = Quantum mechanics in Hilbert space 
  | year = 1981 | edition = 2nd 
  | publisher = Academic Press 
  | page = 20 
  | isbn = 0-12-566060-X 
  | ref = harv 
  }}
* {{cite book |last=Trèves |first=François |title = Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels |publisher=[[Academic Press, Inc.]] |year=1995 |isbn=0-486-45352-9 |pages = 136–149, 195–201, 240–252, 335–390, 420–433 }}
* {{cite book |last = Khaleelulla |first = S. M. |title = Counterexamples in Topological Vector Spaces |publisher=[[Springer-Verlag]] |series = Lecture Notes in Mathematics |volume=936 |year = 1982 |isbn=978-3-540-11565-6 |pages=3–5 |zbl = 0482.46002 }}
{{ReflistF}}

{{-}}
{{泛函分析}}

[[Category:線性代數|F]]
[[Category:泛函分析|F]]
[[Category:度量几何|F]]
[[Category:范数| ]]