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在[[数学]]中，特别是[[矩阵论]]裡，'''若尔当矩阵'''是[[矩阵]]的一种，又称'''若尔当块'''（作为另一个矩阵的一部分时）。当[[系数]]取在某个[[环 (代数)|环]]<math>\displaystyle R</math> 上时（其中的[[单位元|零元]]和[[乘法]][[单位元]]分别记为[[0]]和[[1]]），若尔当矩阵可以写成如下形式：
:<math>\begin{bmatrix}
\lambda & 1       & 0       & \cdots  & 0 \\
0       & \lambda & 1       & \cdots  & 0 \\
\vdots  & \vdots  & \ddots& \vdots  & \vdots \\
0       & 0       & 0        & \lambda & 1       \\
0       & 0       & 0       & 0       & \lambda \\\end{bmatrix}</math>

其[[对角线]]上全都是同一个元素<math>\displaystyle \lambda \in R</math>，而对角线上一排（即所有第<math>\scriptstyle k</math>行第<math>\scriptstyle k+1</math>列）都是1，其余位置上都是0。

可以看到只要确定了对角线上的系数<math>\scriptstyle \lambda </math> 和矩阵的大小<math>\scriptstyle n</math>，就确定了一个若尔当矩阵。这样一个若尔当矩阵被记为<math>\displaystyle J_{\lambda, n} </math>。

如果一个分块对角矩阵的每一个分块都是若尔当块，那么这个矩阵叫做若尔当形矩阵，或[[若尔当标准型]]。例如以下矩阵：

:<math>J = \begin{bmatrix}
J_{\lambda_{1}, m_1} & 0       & 0       & \cdots  & 0 \\
0       & J_{\lambda_{2}, m_2} & 0       & \cdots  & 0 \\
\vdots  & \vdots  & \ddots& \vdots  & \vdots \\
0       & 0       & 0        & J_{\lambda_{s-1}, m_{s-1}} & 0       \\
0       & 0       & 0       & 0       & J_{\lambda_{s}, m_s} \\\end{bmatrix}</math>

以上的若尔当形矩阵也可以记成<math>J=J_{\lambda_1,m_1}\oplus J_{\lambda_2,m_2} \oplus\ldots\oplus J_{\lambda_N,m_N}</math>

给定的一个若尔当矩阵<math>\displaystyle J_{\lambda, n} </math> 可以分解为：
:<math>J_{\lambda, n} = \lambda I_n + N</math>

其中<math> I_n</math> 是''n'' 维的[[单位矩阵]]，而''N'' 则是一个[[幂零元|幂零矩阵]]：
::<math>N = \begin{bmatrix}
0 & 1       & 0       & \cdots  & 0 \\
0       & 0 & 1       & \cdots  & 0 \\
\vdots  & \vdots  & \ddots& \vdots  & \vdots \\
0       & 0       & 0        & 0 & 1       \\
0       & 0       & 0       & 0       & 0 \\\end{bmatrix}</math>

矩阵''N'' 满足<math>\displaystyle N^n = 0</math>。

== 参见 ==
* [[若尔当-谢瓦列分解]]
* [[若尔当标准型]]
* [[全纯函数]]
* [[矩阵指数]]
* [[矩阵对数]]
* [[动态系统]]
* [[分歧理论]]
* [[状态空间]]

==参考来源==
*{{cite book|title=线性代数|author=金朝嵩、段正敏、王汉明|publisher= 清华大学出版社|year=2006年}}

[[Category:矩阵论]]
[[Category:矩阵分解]]