查看“︁艾里函数”︁的源代码

'''艾里函数'''（Ai(''x'')），[[英国]][[英格蘭]][[天文学家]]、[[數學家]][[喬治·比德爾·艾里]]<!---George Biddell Airy--->命名的[[特殊函数]]，他在1838年研究[[光学]]的时候遇到了这个函数。Ai(''x'')的记法是Harold Jeffreys引进的。Ai(''x'')与相关函数Bi(''x'')（也称为艾里函数），是以下[[微分方程]]的解：

:<math>y'' - xy = 0 , \,\!</math>

这个方程称为'''艾里方程'''或'''斯托克斯方程'''。这是最简单的二阶[[线性微分方程]]，它有一个转折点，在这一点函数由周期性的振动转变为指数增长（或衰减）。

==定义==
[[File:Airy Functions.svg|right|thumb|400px|Ai(''x'')（红色）和Bi(''x'')（蓝色）的图像]]
对于实数''x''，艾里函数由以下的积分定义：
:<math>\mathrm{Ai}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \cos\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\, dt.</math>
虽然这个函数不是绝对[[勒贝格积分|可积]]的（当''t''趋于+∞时积分表达式不趋于零），这个[[广义积分]]还是收敛的，因为它快速振动的正数和负数部分倾向于互相抵消（这可以用[[分部积分法]]来检验）。

把:<math> y= Ai(x) </math>求导，我们可以发现它满足以下的微分方程： 

:<math>y'' - xy = 0 . \,\!</math>

这个方程有两个[[线性独立]]的解。除了:<math>Ai(x)</math>以外，另外一个解称为第二艾里函数，记为<math>Bi(x)</math>。它定义为当''x''趋于&minus;∞时，振幅与<math>Ai(x) </math>相等，但相位与<math>Ai(x)</math>相差<math> \frac{\pi}{2} </math>
的函数：

:<math>\mathrm{Bi}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \ e^{\left(-\frac{t^3}{3} + xt\right)} + \sin\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\,dt.</math>

==性质==
:<math> x = 0 </math>时，<math>\mathrm{Ai}(x) </math>和 <math>\mathrm{Bi}(x) </math>以及它们的导数的值为：
:<math>\begin{align}
 \mathrm{Ai}(0) &{}= \frac{1}{\sqrt[3]{9} \Gamma(\frac23)}, & \quad \mathrm{Ai}'(0) &{}= -\frac{1}{\sqrt[3]{3} \Gamma(\frac13)}, \\
 \mathrm{Bi}(0) &{}= \frac{1}{\sqrt[6]{3}\Gamma(\frac23)}, & \quad \mathrm{Bi}'(0) &{}= \frac{\sqrt[6]{3}}{\Gamma(\frac13)}.
\end{align}
</math>
在这里，<math> {\Gamma} </math>表示[[伽玛函数]]。可以推出Ai(''x'')和Bi(''x'')的[[朗斯基行列式]]是<math> \frac{1}{\pi}</math>
。

当''x''是正数时，Ai(''x'')是正的[[凸函数]]，指数衰减为零，Bi(''x'')也是正的凸函数，但呈指数增长。当''x''是负数时，Ai(''x'')和Bi(''x'')在零附近振动，其频率逐渐上升，振幅逐渐下降。这可以由以下艾里函数的渐近公式推出。

==渐近公式==
当''x''趋于+∞时，艾里函数的渐近表现为：
:<math>\begin{align}
 \mathrm{Ai}(x) &{}\sim \frac{e^{-\frac23x^{3/2}}}{2\sqrt\pi\,x^{1/4}} \\
 \mathrm{Bi}(x) &{}\sim \frac{e^{\frac23x^{3/2}}}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}.
\end{align}
</math>
而对于负数方向的极限，则有：
:<math>\begin{align}
 \mathrm{Ai}(-x) &{}\sim \frac{\sin(\frac23x^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}} \\
 \mathrm{Bi}(-x) &{}\sim \frac{\cos(\frac23x^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}. 
\end{align}
</math>
这些极限的[[渐近分析|渐近展开式]]也是可以得到的<ref>参看Abramowitz and Stegun, 1954 和 Olver, 1974。</ref>。

==自变量是复数时的情形==
我们可以把艾里函数的定义扩展到整个复平面：
:<math>\mathrm{Ai}(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{C} \exp\left(\frac{t^3}{3} - zt\right)\, dt,</math>
其中积分路径<math>C</math>从辐角为-(1/3)π的无穷远处的点开始，在辐角为(1/3)π的无穷远处的点结束。此外，我们也可以用微分方程<math>y'' - xy = 0</math>来把Ai(''x'')和Bi(''x'')延拓为复平面上的[[整函数]]。

以上Ai(''x'')的渐近公式在复平面上也是正确的，如果取主值为''x''<sup>2/3</sup>，且''x''不在负的实数轴上。Bi(''x'')的公式也是正确的，只要''x''位于扇形{''x''∈'''C''' : |arg ''x''| < (1/3)π&minus;δ}内，对于某个正数δ。最后，Ai(&minus;''x'')和Bi(&minus;''x'')是正确的，如果''x''位于扇形{''x''∈'''C''' : |arg ''x''| < (2/3)π&minus;δ}内。

从艾里函数的渐近表现可以推出，Ai(''x'')和Bi(''x'')在负的实数轴上都有无穷多个零点。Ai(''x'')在复平面内没有其它零点，而Bi(''x'')在扇形{''z''∈'''C''' : (1/3)π < |arg ''z''| < (1/2)π}内还有无穷多个零点。

===图像===

{| style="text-align:center" align=center
! <math>\Re \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] </math>
! <math>\Im \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] </math>
! <math>| \mathrm{Ai} ( x + iy) | \, </math>
! <math>\mathrm{arg} \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] \, </math>
|-
|[[File:AiryAi Real Surface.png|200px]]
|[[File:AiryAi Imag Surface.png|200px]]
|[[File:AiryAi Abs Surface.png|200px]]
|[[File:AiryAi Arg Surface.png|200px]]
|-
|[[File:AiryAi Real Contour.svg|200px]]
|[[File:AiryAi Imag Contour.svg|200px]]
|[[File:AiryAi Abs Contour.svg|200px]]
|[[File:AiryAi Arg Contour.svg|200px]]
|}


{| style="text-align:center" align=center
! <math>\Re \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] </math>
! <math>\Im \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] </math>
! <math>| \mathrm{Bi} ( x + iy) | \, </math>
! <math>\mathrm{arg} \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] \, </math>
|-
|[[File:AiryBi Real Surface.png|200px]]
|[[File:AiryBi Imag Surface.png|200px]]
|[[File:AiryBi Abs Surface.png|200px]]
|[[File:AiryBi Arg Surface.png|200px]]
|-
|[[File:AiryBi Real Contour.svg|200px]]
|[[File:AiryBi Imag Contour.svg|200px]]
|[[File:AiryBi Abs Contour.svg|200px]]
|[[File:AiryBi Arg Contour.svg|200px]]
|}

==与其它特殊函数的关系==
当自变量是正数时，艾里函数与[[贝塞尔函数#变形贝塞尔函数|变形贝塞尔函数]]之间有以下的关系：
:<math>\begin{align}
 \mathrm{Ai}(x) &{}= \frac1\pi \sqrt{\frac13 x} \, K_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right), \\
 \mathrm{Bi}(x) &{}= \sqrt{\frac13 x} \left(I_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + I_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right).
\end{align}
</math>
在这里，''I''<sub>±1/3</sub>和''K''<sub>1/3</sub>是方程<math>x^2y'' + xy' - (x^2 + 1/9)y = 0</math>的解。

当自变量是负数时，艾里函数与[[贝塞尔函数]]之间有以下的关系：
:<math>\begin{align}
 \mathrm{Ai}(-x) &{}= \frac13 \sqrt{x} \left(J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right), \\
 \mathrm{Bi}(-x) &{}= \sqrt{\frac13 x} \left(J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) - J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right). \end{align}
</math>
在这里，''J''<sub>±1/3</sub>是方程<math>x^2y'' + xy' + (x^2 - 1/9)y = 0</math>的解。

[[Scorer函数]]是<math>y'' - xy = 1/\pi</math>的解，它也可以用艾里函数来表示：
:<math>\begin{align}
 \mathrm{Gi}(x) &{}= \mathrm{Bi}(x) \int_x^\infty \mathrm{Ai}(t) \, dt + \mathrm{Ai}(x) \int_0^x \mathrm{Bi}(t) \, dt, \\
 \mathrm{Hi}(x) &{}= \mathrm{Bi}(x) \int_{-\infty}^x \mathrm{Ai}(t) \, dt - \mathrm{Ai}(x) \int_{-\infty}^x \mathrm{Bi}(t) \, dt. \end{align}
</math>
或是利用超几何函数，
: <math>\operatorname{Gi}(z)\equiv\frac1 3\operatorname{Bi}(z)-\frac{z^2}{2\pi}{_1F_2}(1;4/3,5/3;z^3/9)</math>
: <math>\operatorname{Hi}(z)\equiv\frac2 3\operatorname{Bi}(z)+\frac{z^2}{2\pi}{_1F_2}(1;4/3,5/3;z^3/9)</math>

==参考文献==
{{reflist}}
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun (1954). ''[[Handbook of Mathematical Functions]] with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'', [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_446.htm (See §10.4)] {{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_446.htm |date=20060118161223 }}. [[National Bureau of Standards]].
* Airy (1838). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. ''Transactions of the Cambridge Philosophical Society,'' '''6''', 379–402.
* Olver (1974). ''Asymptotics and Special Functions,'' Chapter&nbsp;11. Academic Press, New York.
* {{cite book
 |author=Harold Richard Suiter
 |title=Star Testing Astronomical Telescopes: A Manual for Optical Evaluation and Adjustment
 |url=https://archive.org/details/startestingastro00suit
 |publisher=Willmann-Bell
 |location=Richmond, VA
 |year=1994
 |isbn=978-0-943396-44-6}}（[http://www.willbell.com/tm/tm5.htm 含有许多图像] {{Wayback|url=http://www.willbell.com/tm/tm5.htm |date=20210421081239 }}）

==外部链接==
* {{MathWorld | urlname=AiryFunctions | title=Airy Functions}}

[[Category:特殊函数|A]]
[[Category:特殊超几何函数|A]]
[[Category:微分方程]]