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在[[數學]]中，'''艾森斯坦級數'''是一類可直接表成[[級數]]的[[模形式]]，由[[費迪南·艾森斯坦]]首創。對於一般的[[約化群]]，[[罗伯特·朗兰兹|-{zh-cn:罗伯特;zh-tw:勞勃;zh-hant:羅伯特;zh-hk:羅拔;}-·朗蘭茲]]也發展了相應的理論。

== 模群的艾森斯坦級數 ==
固定整數 <math>k>1</math>。對上半平面上的複數 <math>\tau</math>，定義艾森斯坦級數 <math>G_{2k}</math> 為
:<math>
G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}.
</math>

此級數是上半平面上的[[全純函數]]，此外它更是[[模群]] <math>\Gamma := \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})</math> 的權 <math>2k</math> 模形式。換言之，若 <math> a,b,c,d \in \mathbb{Z}</math> 滿足 <math> ad-bc=1</math>，則
:<math>
G_{2k} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} G_{2k}(\tau)
</math>

== 遞迴關係 ==
模形式理論中的一個基本事實是：模群 <math>\Gamma</math> 的模形式俱可表為 <math>G_4</math> 與 <math>G_6</math> 的[[多項式]]。作為特例，以下說明如何將艾森斯坦級數遞迴地表成 <math>G_4, G_6</math> 的多項式。

置 <math>d_k := (2k+3)k!G_{2k+4}</math>，遂有下述關係式： 
:<math>\sum_{k=0}^n {n \choose k} d_k d_{n-k} = \frac{2n+9}{3n+6}d_{n+2}</math> 
在此 <math>{n \choose k}</math> 是[[二項式係數]]而 <math>d_0=3G_4</math>、<math>d_1=5G_6</math>。

函數 <math>d_k</math> 可以表示[[魏爾斯特拉斯]] <math>\wp</math> 函數：
:<math>\wp(z)
=\frac{1}{z^2} + z^2 \sum_{k=0}^\infty \frac {d_k z^{2k}}{k!}
=\frac{1}{z^2} + \sum_{k=1}^\infty (2k+1) G_{2k+2} z^{2k}
</math>

== 傅立葉展開 ==
置 <math>q=e^{2\pi i\tau}</math>。由於艾森斯坦級數是模群的模形式，故有傅立葉展開式
:<math>
G_{2k}(\tau) = 2\zeta(2k) \left(1+c_{2k}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{2k-1}(n)q^{n} \right)
</math>
其中的傅立葉係數 <math>c_{2k}</math> 是
:<math>
c_{2k} = \frac{(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)! \zeta(2k)} = \frac {-4k}{B_{2k}}
</math>。

此處的 <math>B_n</math> 是[[伯努利數]]，<math>\zeta(z)</math>是[[黎曼ζ函數]]，而 <math>\sigma_p(n)</math> 是 <math>n</math> 的正[[因數]]的 <math>p</math> 次冪和。
:<math>G_4(\tau)=\frac{\pi^4}{45} \left[ 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n} \right] </math>
:<math>G_6(\tau)=\frac{2\pi^6}{945} \left[ 1- 504\sum_{n=1}^\infty \sigma_5(n) q^{n} \right] </math>

當 <math>|q|<1</math>，對 <math>q</math> 之和亦可化成[[蘭伯特級數]]
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} q^n \sigma_a(n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^a q^n}{1-q^n}</math>。

有時也會考慮常數項等於一的艾森斯坦級數：
:<math>E_{2k} := \frac{G_{2k}}{2 \zeta(2k)} = 1 - \frac{4k}{B_{2k}} \sum_{n=1}^\infty \sigma_{2k-1}(n) q^n </math>。

=== 拉馬努金公式 ===
[[拉馬努金]]給出了許多有趣的艾森斯坦級數關係式：定義
:<math>L(q)=1-24\sum_{n=1}^\infty \frac {nq^n}{1-q^n} = E_2(\tau)</math>
:<math>M(q)=1+240\sum_{n=1}^\infty \frac {n^3q^n}{1-q^n} = E_4(\tau)</math>
:<math>N(q)=1-504\sum_{n=1}^\infty \frac {n^5q^n}{1-q^n} = E_6(\tau)</math>
則有
:<math>q\frac{dL}{dq} = \frac {L^2-M}{12}</math>
:<math>q\frac{dM}{dq} = \frac {LM-N}{3}</math>
:<math>q\frac{dN}{dq} = \frac {LN-M^2}{2}</math>

== 文獻 ==
* Naum Illyich Akhiezer, ''Elements of the Theory of Elliptic Functions'', (1970) Moscow, translated into English as ''AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79'' (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
* Tom M. Apostol, ''Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition'' (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0
* Henryk Iwaniec, ''Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition'', (2002) (Volume 53 in ''Graduate Studies in Mathematics''), America Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7 ''(See chapter 3)''
* Jean-Pierre Serre, ''A course in arithmetic''. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics, No. 7. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.

[[Category:模形式|E]]
[[Category:級數|E]]