查看“︁艾佛森括号”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
}}
在[[数学]]中，以[[Kenneth E. Iverson]]命名的“'''艾佛森括号'''”（Iverson bracket），是一种用方括号记号，如果方括号内的条件满足则为1，不满足则为0. 更确切地讲，
:<math>[P] = \begin{cases} 1 & \text{If } P \text{ is true;} \\ 0 & \text{Otherwise.} \end{cases}</math>
此处 {{math|''P''}} 是一个可真可假的[[命题]]。该记号由[[Kenneth E. Iverson]]在他的编程语言[[APL语言|APL]]中引进<ref>[[Ronald Graham]], [[Donald Knuth]], and [[Oren Patashnik]]. ''[[Concrete Mathematics]]'', Section 2.2: Sums and Recurrences.</ref>，而特别使用方括号则是由[[高德纳]]倡导的，目的是避免含括号的表达式中的歧义。<ref>Knuth 1992.</ref>

== 用途 ==
艾弗森括号通过自然的映射<math>\textbf{false}\mapsto 0;  \textbf{true}\mapsto1</math>将[[布尔值]]转化为整数值，这就允许计数被表示为和式。例如，计数与小于n且正整数n互质的正整数的个数的[[欧拉函数]]可以表示为
: <math> \phi(n)=\sum_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=1],\qquad\text{for }n\in\mathbb N^+.</math>
更一般地，此记号使得将和式和积分式中繁多的条件移入并成为被加（积）项的一个因子成为可能。这将减少累加记号周围的空间，更重要的是这允许运算更加代数化。例如，
: <math>\sum_{1\le i \le 10} i^2 = \sum_{i} i^2[1 \le i \le 10].</math>

另一个例子是化简带特例的方程，例如公式
:<math>\sum_{1\le k\le n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k = \frac{1}{2}n\varphi(n)</math>

对一切{{math|''n'' &gt; 1}}有效，但是右边有 {{sfrac|1|2}} 对于 {{math|''n'' {{=}} 1}}。为了得到一个一切正整数n都成立的恒等式，可以利用艾弗森括号补充等式：

:<math>\sum_{1\le k\le n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k = \frac{1}{2}n(\varphi(n)+[n=1])</math>

== 样例 ==
[[克罗内克函数]] : <math>\delta_{ij} = [i=j].</math>

[[符号函数]]和[[单位阶跃函数]]：
: <math> \sgn(x) = [x > 0] - [x < 0]</math>
: <math> H(x) = [x > 0].</math>

最值与绝对值：
:<math> \max(x,y) = x[x>y]+y[x\leq y],</math>
:<math> \min(x,y) = x[x\leq y]+y[x> y],</math>
:<math> |x| = x[x\geq 0]-x[x<0].</math>

上下[[取整函数]]：
: <math> \lfloor x \rfloor = \sum_{n=-\infty}^{\infty}n[n \le x < n+1]</math>
: <math> \lceil x \rceil = \sum_{n=-\infty}^{\infty}n[n-1 < x \le n].</math>

{{tsl|en|Macaulay brackets|麦考利括号|麦考利括号}}可被表示为
:<math>\{x\} = x\cdot[x\geq 0].</math>

实数的[[三分律]]等价于下面的恒等式：
:<math>[a < b] + [a = b] + [a > b] = 1. </math>

== 另见 ==
*{{tsl|en|Macaulay brackets|麦考利括号|麦考利括号}}

== 注释 ==
{{reflist}}

== 参考来源 ==
*  Donald Knuth, "Two Notes on Notation", ''[[American Mathematical Monthly]]'', Volume 99, Number 5, May 1992, pp.&nbsp;403–422. (http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/papers/tnn.tex.gz {{Wayback|url=http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/papers/tnn.tex.gz |date=20210506142926 }}, {{arxiv|math/9205211}})
* Kenneth E. Iverson, ''A Programming Language'', New York: Wiley, p.&nbsp;11, 1962.

{{APL编程语言}}

[[Category:数学符号]]