查看“︁舒尔不等式”︁的源代码

'''舒尔不等式'''说明，对于所有的非负实数''x''、''y''、''z''和实数''t''，都有：

:<math>x^t (x-y)(x-z) + y^t (y-z)(y-x) + z^t (z-x)(z-y) \ge 0</math>

当且仅当''x = y = z''，或其中两个数相等而另外一个为零时，等号“=”成立。当''t''是正的偶数时，不等式对所有的实数''x''、''y''和''z''都成立。

== 证明 ==
由于不等式是[[对称]]的，[[不失一般性]]，我们不妨设<math> x \geq y \geq z</math>。对''t''分类讨论:
<math>t \geq 0</math>时,
:<math>(x-y)[x^t(x-z)-y^t(y-z)]+z^t(x-z)(y-z) \geq 0\,</math>

显然成立，这是因为左边的每一项都是非负的。同理，<math>t < 0</math>时,
:<math>(y-z)[z^t(x-z)-y^t(x-y)]+x^t(x-y)(x-z) \geq 0\,</math>
证毕。

== 推广 ==
舒尔不等式有一个推广：

假设''a、b、c''是正的实数。如果''（a，b，c）''和''（x，y，z）''是[[序同构|同序]]的，则以下的不等式成立：

:<math>a (x-y)(x-z) + b (y-z)(y-x) + c (z-x)(z-y) \ge 0.</math>

2007年，罗马尼亚数学家Valentin Vornicu证明了一个更一般的形式：

考虑<math>a,b,c,x,y,z \in \mathbb{R}</math>，其中<math>a \geq b \geq c</math>，而且<math>x \geq y \geq z</math>或<math>z \geq y \geq x</math>。设<math>k \in \mathbb{Z}^{+}</math>，并设<math>f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{0}^{+}</math>或者是[[凸函数]]，或者是[[单调函数]]。那么：

: <math>{f(x)(a-b)^k(a-c)^k+f(y)(b-a)^k(b-c)^k+f(z)(c-a)^k(c-b)^k \geq 0}.\,</math>

当''x'' = ''a''、''y'' = ''b''、''z'' = ''c''、''k'' = 1、''f''(''m'') = ''m''<sup>''t''</sup>时，即化为舒尔不等式。<ref>Vornicu, Valentin; ''Olimpiada de Matematica... de la provocare la experienta''; GIL Publishing House; Zalau, Romania.</ref>

== 参考文献 ==
{{reflist}}

[[Category:代数不等式]]