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{{noteTA
|G1=物理學
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在[[物理學]]裏，'''自由粒子'''是不被位勢束縛的[[粒子]]。在[[經典力學]]裏，一個自由粒子所感受到外來的[[淨力]]是0。

假若，一個粒子的[[能量]]大於在任何地點<math>x\,\!</math>的[[位勢]]，<math>E > V(x) \,\!</math>，不會被位勢束縛，則稱此粒子為'''自由粒子'''。更強版的定義，還要求位勢為常數<math>V(x)=V_0 \,\!</math>。假若，一維空間分為幾個區域，只有在每個區域內，位勢為常數；在區域與區域之間，位勢不相等，則稱此粒子為'''半自由粒子'''。自由粒子或半自由粒子的能量大於位勢，<math>E > V(x) \,\!</math>，不會被位勢束縛，能量不是[[離散量|離散]]能量譜的特殊值，而是大於或等於<math>V_0\,\!</math>的任意值。

本條目只論述強版定義的自由粒子。由於能量與位勢都不是絕對值，可以設定位勢為0，再根據新舊位勢的差額，調整能量。

==古典自由粒子 ==
古典自由粒子的特點是它移動的[[速度]]<math>\mathbf{v}\,\!</math>是不變的。它的[[動量]]<math>\mathbf{p}\,\!</math>是
:<math>\mathbf{p}=m\mathbf{v}\,\!</math>。

其中，<math>m\,\!</math>是粒子的[[質量]]。

[[能量]]<math>E\,\!</math>是
:<math>E=\frac{1}{2}mv^2\,\!</math>。

==非相對論性的自由粒子==
描述一個非[[相對論]]性自由粒子的[[含時薛丁格方程式]]為
:<math> - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \ \Psi(\mathbf{r},t) =
i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi (\mathbf{r},t)</math>；

其中，<math>\hbar</math>是[[普朗克常數|約化普朗克常數]]，<math>\Psi(\mathbf{r},t)</math>是粒子的[[波函數]]，<math>\mathbf{r}</math>是粒子的位置，<math>t</math>是時間。

這薛丁格方程式有一個[[平面波]]解：
:<math>\Psi(\mathbf{r},t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}</math>；

其中，<math>\mathbf{k}</math>是[[波向量]]，<math>\omega</math>是[[角頻率]]。

將這公式代入薛丁格方程，這兩個變數必須遵守關係式
:<math>\frac{\hbar^2 k^2}{2m}=\hbar \omega\,\!</math>。

由於粒子存在的[[機率]]等於1，波函數<math>\Psi(\mathbf{r},t)\,\!</math>必須[[歸一化]]，才能夠表達出正確物理意義。對於一般的自由粒子而言，這不是問題。因為，自由粒子的波函數，在位置或動量方面，都是局部性的。

動量的[[期望值 (量子力学)|期望值]]是
:<math>\langle\mathbf{p}\rangle=\langle \Psi | - i\hbar\nabla|\Psi\rangle = \hbar\mathbf{k}\,\!</math>。

能量的期望值是

:<math>\langle E\rangle=\langle \Psi |i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi\rangle = \hbar\omega\,\!</math>。

代入波向量<math>\mathbf{k}\,\!</math>與角頻率<math>\omega\,\!</math>的關係方程，可以得到熟悉的能量與動量的關係方程：
:<math>\langle E \rangle =\frac{\langle p \rangle^2}{2m}\,\!</math>。

波的[[群速度]]<math>v_g\,\!</math>定義為
:<math>v_g= \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}p} = v\,\!</math>；

其中，<math>v\,\!</math>是粒子的經典速度。

波的[[相速度]]<math>v_p\,\!</math>定義為
:<math>v_p=\frac{\omega}{k} = \frac{E}{p} = \frac{p}{2m} = \frac{v}{2}\,\!</math>。

在[[量子力學]]裏，一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數以[[波包]]函數表示為
:<math>\Psi(\mathbf{r}, t)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\mathbb{K}} A(\mathbf{k})e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}\mathrm{d}\mathbf{k}\,\!</math>；

其中，積分區域<math>\mathbb{K}</math>是<math>\mathbf{k}</math>-空間。

為了方便計算，只考虑一維空間，
:<math>\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{ \infty}_{ - \infty} A(k) ~ e^{i(kx - \omega(k)t)} \ \mathrm{d}k \,\!</math>；

其中，振幅<math>A(k)\,\!</math>是[[量子疊加]]的係數函數。

逆反過來，係數函數表示為
:<math> A(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\,\infty}_{ - \infty} \Psi(x,\ 0) ~ e^{ - ikx}\,\mathrm{d}x \,\!</math>；

其中，<math>\Psi(x,\ 0)\,\!</math>是在時間<math>t=0\,\!</math>的波函數。

所以，知道在時間<math>t=0\,\!</math>的波函數<math>\Psi(x,\ 0)\,\!</math>，通過[[傅立葉轉換]]，可以推導出在任何時間的波函數<math>\Psi(x,t)\,\!</math>。

==相對論性的自由粒子==

[[相對論]]性的自由粒子的量子行為，需要用特別的方程專門描述：
*[[克莱因-戈尔登方程]]描述[[中性粒子|中性]]的，[[自旋]]為零的，相對論性的自由粒子的量子行為。
*[[狄拉克方程]]描述相對論性的[[電子]]（[[自旋]]為<math>1/2\,\!</math>）的量子行為。

==參閱==
* [[態疊加原理]]
* [[無限深方形阱]]
* [[有限深方形阱]]
* [[有限位勢壘]]
* [[球對稱位勢]]
* [[Delta位勢阱]]
* [[Delta位勢壘]]
* [[波包]]

[[Category:基本物理概念|Z]]
[[Category:經典力學|Z]]
[[Category:量子力學|Z]]