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在[[數學]]的[[群論]]中，'''自由積'''（{{lang-en|'''free product'''}}，{{lang-fr|'''produit libre'''}}）是從兩個以上的[[群 (數學)|群]]構造出一個群的一種操作。兩個群''G''和''H''的自由積，是一個新的群''G'' ∗ ''H''。這個群包含''G''和''H''為[[子群]]，由''G''和''H''的元素生成，並且是有以上性質的群之中「最一般」的。自由積一定是無限群，除非''G''和''H''其一是平凡群。自由積的構造方法和[[自由群]]（由給定的生成元集合所能構造出的最一般的群）相似。

自由積是群[[範疇 (數學)|範疇]]中的[[餘積]]。

==建構方式==
若''G''和''H''是群，以''G''和''H''形成的'''[[字 (群論)|字]]'''是以下形式的乘積：
:<math>s_1 s_2 \cdots s_n,</math>
其中''s''<sub>''i''</sub>是''G''或''H''的元。這種字可以用以下的操作簡化：
* 除去其中的（''G''或''H''的）單位元，
* 將其中的''g''<sub>1</sub>''g''<sub>2</sub>一對元素以其在''G''中的積代替，將其中的''h''<sub>1</sub>''h''<sub>2</sub>一對元素以其在''H''中的積代替。
每個簡約字都是''G''的元素和''H''的元素交替的積，例如：
:<math>g_1 h_1 g_2 h_2 \cdots g_k h_k.</math>
'''自由積'''''G'' ∗ ''H''的元素是以''G''和''H''形成的簡約字，其上的運算是將兩字接合後簡化。

例如若''G''是無窮[[循環群]]<''x''>，''H''是無窮循環群<''y''>，則''G'' ∗ ''H''的元素是''x''的冪和''y''的冪交替的積。此時''G'' ∗ ''H''[[群同構|同構]]於以''x''和''y''生成的[[自由群]]。

設<math>(G_i)_{i\in I}</math>是群的一個族。用<math>G_i</math>形成的字，也可以用上述操作簡化為簡約字。仿上可定義出<math>G_i</math>的'''自由積'''<math>*_{i\in I} G_i </math>。

==展示==
設
:<math>G = \langle S_G \mid R_G \rangle</math>
是''G''的一個[[群的展示|展示]]（''S''<sub>''G''</sub>是生成元的集合，''R''<sub>''G''</sub>是關係元的集合），又設
:<math>H = \langle S_H \mid R_H \rangle</math>
是''H''的一個展示。那麼
:<math>G * H = \langle S_G \cup S_H \mid R_G \cup R_H \rangle.</math>
即是''G'' ∗ ''H''是''G''的生成元和''H''的生成元所生成，而其關係是''G''的關係元和''H''的關係元所組成。（兩者都是[[不交併]]。）

==性質==
*將<math>G_{i_0}</math>自然地映射到<math>*_{i\in I} G_i</math>的[[群同態]]是[[內射]]，故此這個群同態將<math>G_{i_0}</math>[[嵌入 (數學)|嵌入]]到<math>*_{i\in I} G_i</math>中為子群。

==泛性質==

自由積亦可由以下[[泛性質]]定義：設''G''是群，<math>(G_i)_{i\in I}</math>是由群組成的一個族，有一族群同態<math>(\phi_i\colon G_i \to G)_{i\in I}</math>。那麼存在唯一的群同態<math>\phi\colon *_{i\in I} G_i \to G</math>，使得對所有<math>i_0\in I</math>都有
: <math>\phi_{i_0} = \phi \circ \iota_{i_0}</math>
其中<math>\iota_{i_0}\colon G_{i_0} \to *_{i\in I} G_i </math>是把<math>G_{i_0}</math>嵌入到<math>*_{i\in I} G_i</math>中的群同態。

==共合積==
'''共合積'''（{{lang-en|'''amalgamated (free) product'''}}或{{lang|en|'''free product with amalgamation'''}}，{{lang-fr|'''produit (libre) amalgamé'''}}）是自由積的推廣。設''G''和''H''是群，又設''F''是另一個群，並有[[群同態]]
:<math>\phi\colon F\to G</math> 及 <math>\psi\colon F\to H</math>
對''F''中所有元素''f''，在自由積''G'' ∗ ''H''中加入關係
:<math>\phi(f)\psi^{-1}(f)=e</math>
便得出其共合積。換言之，在''G'' ∗ ''H''中取最小的[[正規子群]]''N''，使得上式左方的元素都包含在內，則[[商群]]
:<math>(G * H)/ N</math>
就是共合積<math>G *_F H</math>。

共合積可視為在群[[範疇 (數學)|範疇]]中圖表<math>G \leftarrow F \rightarrow H</math>的[[推出 (範疇論)|推出]]。

[[塞弗特－范坎彭定理]]指，兩個[[路徑連通]]的[[拓撲空間]]沿著一個路徑連通子空間接合的[[併集|併]]，其[[基本群]]是這兩個拓撲空間的基本群的共合積。

共合積及與之相近的[[HNN擴張]]，是討論在[[樹 (圖論)|樹]]上[[群作用|作用]]的群的[[Bass–Serre理論]]的基本組件。

==參考==
* {{planetmath reference|id=6574|title=Free product|urlname=freeproduct}}
* {{planetmath reference|id=3944|title=Free product with amalgamated subgroup|urlname=freeproductwithamalgamatedsubgroup}}
*{{cite book|author=Pierre de la Harpe |authorlink= |coauthors= |title=Topics in Geometric Group Theory |year= 2000|publisher=The University of Chicago Press |location=Chicago and London |isbn=0-226-31721-8 }}

[[分類:群論]]