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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
[[數學]]上所謂的'''自守形式'''（{{lang-en|Automorphic form}}），是一類特別的複變數函數，並在某個離散變換群下滿足由[[自守因子]]描述之變換規律。[[模形式]]與[[馬斯形式]]是其特例。由自守形式可定義'''自守表示'''，嚴格言之，自守表示並非尋常意義下的[[群表示]]，而是整體[[赫克代數]]上的模。

[[龐加萊]]在1880年代曾研究過自守形式，他稱之為'''富克斯函數'''。[[郎蘭茲綱領]]探討自守表示與[[數論]]的深入聯繫。

== 古典定義 ==
設 <math>\Gamma</math> 為作用於複區域 <math>D</math> 的離散群。取定'''自守因子''' <math>j_{\gamma}(x), \;(\gamma \in \Gamma, x \in D)</math> 及'''權''' <math>m \in \N</math>。相應的權 <math>m</math> '''自守形式'''是 <math>D</math> 上滿足下述[[函數方程]]的[[全純函數]]
: <math>j_{\gamma}(x)^m f(\gamma(x)) = f(x), \quad x \in D, \gamma \in \Gamma</math>。

自守因子 <math>j_\gamma(x)</math> 當 <math>\gamma</math> 固定時是 <math>D</math> 上的全純函數，並且是 <math>\Gamma</math> 上的 1-[[群上同調|閉上鏈]]。

定義中的複值函數 <math>f</math> 可推廣成取值為矩陣的函數；權 <math>m</math> 的限制亦可放鬆，例如半整數 <math>m \in \frac{1}{2}+\Z</math>。

== 群上的定義 ==
自守形式另有[[群表示理論]]的詮釋，並牽涉[[數論]]，但無法完全涵攝古典定義。為簡單起見，以下設 <math>G=\mathrm{GL}(n)</math>，其中心可等同於 <math>\mathbb{G}_m</math>。

考慮[[整體域]] <math>F</math>（例如 <math>F=\mathbb{Q}</math>），由此定義 <math>G</math> 的[[阿代爾環|阿代爾點]] <math>G(\mathbb{A}_F)</math>，賦予相應的[[拓撲空間|拓撲結構]]，並取定標準的緊子群 <math>K</math>。

固定一[[特徵標|擬特徵]] <math>\omega: F^\times \backslash \mathbb{A}_F^\times \to \mathbb{C}^\times</math>。以 <math>\omega</math>為'''中心特徵'''的自守形式定為 <math>G(F)\backslash G(\mathbb{A}_F)</math> 上滿足下列條件的複值函數 <math>f</math>：
# <math>f</math> 光滑：若 <math>F</math> 為[[函數域]]，這代表 <math>f</math> 是局部常數函數。否則意謂存在一組 <math>G(\mathbb{A}_F)</math> 的[[開覆蓋]] <math>\mathcal{U}</math>，對每個 <math>h \in U \in \mathcal{U}</math>，<math>f(h) = f_U(h_\infty)</math>，而 <math>f_U</math> 無窮可微。
# 对任何<math>z \in \mathbb{A}_F</math> 及任何 <math>h</math>，总有 <math>f(z \cdot h) = \omega(z)f(h)</math>。
# <math>f</math> 右 <math>K</math>-有限：函數 <math>f(\cdot k) \;(k \in K)</math> 張成有限維向量空間。
# 承上，設 <math>\mathcal{Z}_v</math> 為[[泛包絡代數]] <math>U(\mathfrak{gl}(n,F_v))</math> 之中心，則 <math>f</math> 為 <math>\mathcal{Z}_v</math>-有限。
# 緩增性：固定適當的高度函數 <math>\|\cdot\|: G(\mathbb{A}_F) \to \mathbb{R}_{>0}</math>（取法不影響定義），存在常數 <math>C</math> 及 <math>N \in \N</math> 使得 <math>|f(g)| \leq C\|g\|^N</math>。

'''註記.''' 若 <math>v</math> 是 <math>F</math> 的[[賦值|阿基米德賦值]]，條件二中張出的空間在[[李代數]] <math>\mathfrak{gl}(n,F_v)</math> 的作用 <math>f \mapsto Xf</math> 下不變。條件三蘊含自守形式對阿基米德賦值是[[解析函數]]。

若對所有 <math>r+s=n\, (0 < r,s < n)</math> 皆有
: <math>\int_{M_{r,s}(F)\backslash M_{r,s}(\mathbb{A}_F)} f\begin{pmatrix} I_r & X \\ 0 & I_s\end{pmatrix} \,dX = 0</math>
則稱 <math>f</math> 為'''尖點形式'''。

== 自守表示 ==
定義 <math>\mathcal{A}(G(F)\backslash G(\mathbb{A}_F), \omega)</math> 為中心特徵為 <math>\omega</math> 的自守形式集，子空間 <math>\mathcal{A}_0(G(F)\backslash G(\mathbb{A}_F), \omega)</math> 則為尖點形式集。

這兩個空間是''有限''阿代爾群 <math>G(\mathbb{A}_\mathrm{fin})</math> 的表示；對阿基米德賦值則帶有 <math>(\mathfrak{g},K)</math>-模結構。此套結構可以概括為'''整體[[赫克代數]]''' <math>\mathcal{H}_{G(\mathbb{A}_F)}</math> 的表示。注意：它們並非 <math>G(\mathbb{A})</math> 的表示！

一個'''自守表示'''是 <math>\mathcal{H}_{G(\mathbb{A}_F)}</math>-模 <math>\mathcal{A}(G(F)\backslash G(\mathbb{A}_F), \omega)</math> 之[[子商]]，<math>\omega</math> 稱作該自守表示的中心擬特徵。'''尖點自守表示'''是 <math>\mathcal{A}_0(G(F)\backslash G(\mathbb{A}_F), \omega)</math> 之子空間。

== 参考文献 ==
<!-- === 引用 ===
{{Reflist}}

=== 来源 === -->
{{refbegin}}
* {{springer|id=a/a014160|author=A.N. Parshin|title=Automorphic Form}}
* Henryk Iwaniec, ''Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition'', (2002) (Volume 53 in ''Graduate Studies in Mathematics''), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7
* Daniel Bump, ''Automorphic Forms and Representations'', (1998), Cambridge Studies in Advanced Mathematics 55. ISBN 0-521-65818-7 .
* {{planetmath|urlid=henripoincare|title=Henri Poincaré}}
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[[Category:自守形式| ]]
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[[Category:數論]]
[[Category:李群]]