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{{NoteTA|G1=Math|G2=Physics}}
在[[数学]]、尤其是[[泛函分析]]中，[[向量空间]] <math>V</math> 上的'''自伴算子'''（{{lang|en|self-adjoint operator}}）是一类特殊的[[线性算子]]（[[自同态]]），其[[埃尔米特伴随|伴随算子]]是其自身。根据不同的需要，可以讨论 <math>V</math> 为[[拓扑向量空间]]、[[赋范向量空间]]、[[巴拿赫空间]]乃至[[希尔伯特空间]]的情况，使得伴随算子、自伴算子可以具有更丰富的性质，一个重要的例子是希尔伯特空间上自伴算子的[[谱定理]]。

若 <math>V</math> 是具有[[标准正交基|规范正交基]]的有限维复向量空间，其上自伴算子在该基下的[[矩阵]]是[[埃尔米特矩阵]]——该矩阵等于自身的[[共轭转置]]。有限维的[[谱定理]]表明，对于一个算子 <math>A</math> ，总能找到 <math>V</math> 上的[[标准正交基|规范正交基]]使得 <math>A</math> 在该基下的矩阵是一个[[對角矩陣|对角矩阵]]，且这些对角元都是[[实数]]。

无穷维希尔伯特空间上的自伴算子的谱定理与此类似：一个算子是自伴的，当且仅当其[[幺正算符|酉]]等价于一个实值[[乘法算子]]。不过，[[黑林格-特普利茨定理]]表明了定义于全空间的自伴算子必然是有界的，从而无界算子至多只能定义在全空间的一个稠密子空间上，故对于无界算子须对定义域的问题多加注意。定义域的问题造成了[[对称算子]]和自伴算子的区分，而这区分对于谱定理等结论而言是至关重要的。

自伴算子在[[量子力学]]中也有重要地位。在{{Tsl|en|Dirac–von Neumann axioms|狄拉克-冯诺伊曼公理|量子力学公理的狄拉克-冯诺伊曼表述}}中，[[位置向量|位置]]、[[动量]]、[[角动量]]和[[自旋]]等物理[[可觀察量|可观测量]]是由希尔伯特空间上的自伴算子表示。在[[哈密顿算符|哈密顿算子]]的谱（能级）具有重要的物理意义的同时，哈密顿算子中的动能项通常由导数算子构成，而无穷维空间中的导数算子是典型的无界算子。

==量子力學==
{{物理算符}}
在[[量子力學]]裏，'''自伴算子'''，又稱為'''自伴算符'''，或'''厄米算符'''（{{lang|en|Hermitian operator}}），是一種等於自己的[[厄米共軛]]的[[算符]]。給予算符<math>\hat{O}\,\!</math>和其[[伴隨算符]]<math>\hat{O}^{\dagger}\,\!</math>，假設<math>\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}\,\!</math>  ，則稱<math>\hat{O}\,\!</math>為厄米算符。厄米算符的[[期望值]]可以表示量子力学中的物理量。

===可觀察量===
由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以，可觀察量<math>O\,\!</math>的期望值是實值的：
:<math>\langle O\rangle=\langle O\rangle^*\,\!</math>。

對於任意量子態<math>|\psi\rangle\,\!</math>，這關係都成立；
:<math>\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle=\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*\,\!</math>。

根據[[伴隨算符]]的定義，假設<math>\hat{O}^{\dagger}\,\!</math>是<math>\hat{O}\,\!</math>的伴隨算符，則<math>\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*=\langle\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rangle\,\!</math>。因此，
:<math>\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}\,\!</math>。

這正是[[厄米算符]]的定義。所以，表示可觀察量的算符<math>\hat{O}\,\!</math>，都是厄米算符。

[[可觀察量]]，像[[位置]]，[[動量]]，[[角動量]]，和[[自旋]]，都是用作用於[[希爾伯特空間]]的自伴算符來代表。[[哈密頓算符]]<math>\hat{H}\,\!</math>是一個很重要的自伴算符，表達為
:<math> \hat{H} \psi = - \frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \psi + V \psi \,\!</math>；

其中，<math>\psi\,\!</math>是粒子的[[波函數]]，<math>\hbar\,\!</math>是[[約化普朗克常數]]，<math>m\,\!</math>是[[質量]]，<math>V\,\!</math>是[[位勢]]。

哈密頓算符所代表的[[哈密頓量]]是粒子的總[[能量]]，一個[[可觀察量]]。

動量是一個可觀察量，動量算符應該也是厄米算符：選擇位置空間，量子態<math>|\psi\rangle\,\!</math>的波函數為<math>\psi(x)\,\!</math>，
:<math>\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x}\ dx=\left. \frac{\hbar}{i}\psi^*\psi\right|_{ - \infty}^{\infty} - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\psi\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)^*\psi\ dx=\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle^*=\langle\psi|\hat{p}^{\dagger}|\psi\rangle
\,\!</math>。

對於任意量子態<math>|\psi\rangle\,\!</math>，<math>\hat{p}=\hat{p}^{\dagger}\,\!</math>。所以，動量算符確實是一個厄米算符。

==參考文獻==

* {{cite book|last=Rudin|first=Walter|title=Functional Analysis|url=https://archive.org/details/functionalanalys0000rudi|publisher=McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics|publication-place=Boston, Mass.|date=1991|isbn=978-0-07-054236-5}}
* {{Cite book|edition=2. ed|chapter=|series=Monographs and textbooks in pure and applied mathematics|publisher=CRC Press|date=2011|location=Boca Raton|isbn=978-1-58488-866-6|first=Lawrence|last=Narici|first2=Edward|last2=Beckenstein|title=Topological vector spaces}}
* {{cite book | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |id=ISBN 0-13-111892-7|pages=pp. 96-106}}
{{泛函分析}}
[[Category:算子理論|Z]]
[[Category:線性代數|Z]]