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'''能斯特-普朗克方程'''（{{lang-en|Nernst–Planck equation}}）是一个用来描述带电荷的化学物质在流体中运动的方程。它拓展了[[菲克定律]]，可以描述粒子在扩散的同时因为静电力而相对于流体移动的情况<ref name="Kirby">{{Cite book|last=Kirby|first=B. J.|title=Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices: Chapter 11: Species and Charge Transport|url=http://www.kirbyresearch.com/index.cfm/wrap/textbook/microfluidicsnanofluidicsch11.html|year=2010|access-date=2020-12-09|archive-date=2013-01-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20130118103328/http://www.kirbyresearch.com/index.cfm/wrap/textbook/microfluidicsnanofluidicsch11.html|dead-url=no}}</ref><ref name="Probstein">{{Cite book|last=Probstein|first=R.|title=Physicochemical Hydrodynamics|url=https://archive.org/details/physicochemicalh0000prob|year=1994}}</ref>。

此方程因[[瓦尔特·能斯特]]和[[马克斯·普朗克]]命名。

== 方程 ==
它描述了同时受粒子[[分子擴散|浓度梯度]]和[[電場|电场]]{{Nowrap|''E'' {{=}} −∇''φ'' −{{sfrac|∂'''A'''|∂''t''}}}}影响的粒子流通量：

: <math>\frac{\partial c}{\partial t} = - \nabla \cdot J \quad | \quad J = -\left[ D \nabla c - u c + \frac{Dze}{k_\mathrm{B} T}c\left(\nabla \phi+\frac{\partial \mathbf A}{\partial t}\right) \right]</math>
: <math>\iff\frac{\partial c}{\partial t} = \nabla \cdot \left[ D \nabla c - u c + \frac{Dze}{k_\mathrm{B} T}c\left(\nabla \phi+\frac{\partial \mathbf A}{\partial t}\right) \right]</math>

其中''J''是扩散通量密度， ''t''是时间， ''D''是化学物质的[[质量扩散率|扩散率]]， ''c''是物质的浓度， ''z''是离子物质的化合价， ''e''是[[基本电荷|元素电荷]]， ''k''<sub>B</sub>是[[波茲曼常數|玻尔兹曼常数]]， ''T''是温度<math> u </math>是流体的速度， ''<math>\phi</math>''是电势， ''<math> \mathbf A </math>''是[[磁矢势|磁矢量势]]。

如果扩散粒子本身带电，它们就会受到电场的影响。因此，能斯特-普朗克方程可用于描述土壤中的[[離子交換|离子交换]][[化学动力学|动力学]]。<ref name="Sparks1988">{{Cite book|last=Sparks|first=D. L.|year=1988|title=Kinetics of Soil Chemical Processes|publisher=Academic Press, New York|pages=101ff}}</ref>

将时间导数设置为零，并将流体速度设置为零（仅离子在运动），

: <math> J = -\left[ D \nabla c + \frac{Dze}{k_\mathrm{B} T}c\left(\nabla \phi+\frac{\partial \mathbf A}{\partial t}\right) \right]</math>

在静态电磁条件下，可得稳态能斯特-普朗克方程

: <math> J = -\left[ D \nabla c + \frac{Dze}{k_B T}c(\nabla \phi) \right]</math>

最后，以mol /（m <sup>2</sup> ·s）为单位，带入理想气体常数R，可获得更熟悉的方程形式： <ref>{{Cite book|first=B.|last=Hille|year=1992|title=Ionic Channels of Excitable Membranes|url=https://archive.org/details/ionicchannelsofe00hill|edition=2nd|publisher=Sinauer|location=Sunderland, MA|page=[https://archive.org/details/ionicchannelsofe00hill/page/267 267]}}</ref> <ref>{{Cite book|first=B.|last=Hille|year=1992|title=Ionic Channels of Excitable Membranes|url=https://archive.org/details/ionicchannelsofe00hill|edition=3rd|publisher=Sinauer|location=Sunderland, MA|page=[https://archive.org/details/ionicchannelsofe00hill/page/318 318]}}</ref>

: <math> J = -D\left[ \nabla c + \frac{zF}{RT}c(\nabla \phi) \right]</math>

其中''F''是等于[[阿伏伽德罗常数|''N''<sub>A</sub>]][[基本电荷|''e'']]的法拉第常数。

== 引用 ==
{{Reflist}}
[[Category:统计力学]]
[[Category:物理化学]]
[[Category:扩散]]
[[Category:瓦爾特·能斯特]]
[[Category:电化学方程]]