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{{distinguish|胡尔维茨定理}}

在数学中，'''胡列维茨定理'''是[[代数拓扑]]的一个基本结论。定理通过“胡列维茨同态”将[[同伦论]]与[[同调论]]联系起来，是[[儒勒·昂利·庞加莱|庞加莱]]此前部分结论的推广。胡列维茨定理以{{link-en|維托爾德·胡列維茨|Witold Hurewicz}}命名。

==定理陈述==

胡列维茨定理是连接[[同伦群]]和[[同调群]]的关键一环。

===绝对版本===

对于任意空间 <math> X </math> 和任意正整数 <math> k </math>，都存在[[群同态]]（构造见本小节末尾）

:<math>h_{\ast}\colon\, \pi_k(X) \to H_k(X) \,\!</math>

称为从 <math> k </math> 阶[[同伦群]]到 <math> k </math> 阶（整系数）[[同调群]]的胡列维茨同态。当 <math> k=1 </math> 且 <math> X </math> [[连通空间|道路连通]]时，胡列维茨同态等价于标准的[[换位子群|阿贝尔化]]映射

:<math>h_{\ast}\colon\, \pi_1(X) \to \pi_1(X)/[ \pi_1(X), \pi_1(X)] \to H_1(X) . \,\!</math>

胡列维茨定理声明，若 <math> X </math> 是[[N-连通|(''n'' -1)-连通]]空间，那么对于所有 <math> k\le n </math>，胡列维茨同态都是[[群同构]]（当 <math> n\ge2 </math>）或阿贝尔化（当 <math> n=1 </math>）。特别地，定理说明第一同伦群（即[[基本群]]）的阿贝尔化同构于第一同调群：

:<math> H_1(X) \cong  \pi_1(X)/[ \pi_1(X), \pi_1(X)] . \,\!</math>

因此，如果 <math> X </math> 道路连通且 <math> \pi_1(X) </math> 是[[换位子群#定义|完美群]]，那么 <math> X </math> 的第一同调群为零。

此外，当 <math> X </math> 是(''n'' -1)-连通时（<math> n\ge2 </math>），胡列维茨同态 <math>\pi_{n+1}(X) \to H_{n+1}(X)</math> 都是[[满同态]]（[[满射]]）。

胡列维茨同态由如下方式给定：设 <math>u_n \in H_n(S^n)</math> 为标准生成元，那么胡列维茨映射将同伦类 <math>f \in \pi_n(X)</math> 映射到 <math>f_*(u_n) \in H_n(X)</math>。

===相对版本===

===三元版本===

===单纯集合版本===
拓扑空间的胡列维茨定理对于''n''-连通、满足阚条件的[[单纯集合]]也有对应陈述。<ref>{{Citation | last1=Goerss | first1=P. G. | last2=Jardine | first2=J. F. | title=Simplicial Homotopy Theory | publisher=Birkhäuser | location=Basel, Boston, Berlin | series=Progress in Mathematics | isbn=978-3-7643-6064-1 | year=1999 | volume=174}}, III.3.6, 3.7</ref>

===有理胡列维茨定理===

设 <math> X </math> 为单连通拓扑空间，并对于所有 <math> i\le r </math> 满足 <math> \pi_i(X) \otimes \mathbb{Q} = 0 </math>。那么胡列维茨映射

:<math>h\otimes \mathbb{Q} : \pi_i(X)\otimes \mathbb{Q} \longrightarrow H_i(X;\mathbb{Q})</math>

对于 <math> 1\le i\le 2r </math> 为同构，且对于 <math> i=2r+1 </math> 是满射。<ref>{{Citation | last1=Klaus | first1=S. | last2=Kreck | first2=M. | title=A quick proof of the rational Hurewicz theorem and a computation of the rational homotopy groups of spheres | journal= Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society | year=2004 | volume=136 | pages=617–623 | doi=10.1017/s0305004103007114}}</ref><ref>{{Citation | last1=Cartan | first1=H. | last2=Serre | first2=J. P. | title= Espaces fibres et groupes d'homotopie, II, Applications | journal= C. R. Acad. Sci. Paris | year=1952 | volume=2 | number=34 |pages=393–395}}</ref>

==参考资料==
<references />

* {{citation
 |last= Brown
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 |title= Triadic Van Kampen theorems and Hurewicz theorems
 |journal= Contemporary Mathematics
 |year= 1989
 |volume= 96
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 |issn= 0040-9383
 |doi=10.1090/conm/096/1022673
 }}
<!--* R. Brown, ''Triadic Van Kampen theorems and Hurewicz theorems'', Algebraic Topology, Proc. Int. Conf. March 1988, Edited M.Mahowald and S.Priddy,  Cont. Math. 96 (1989) 39-57.-->
* {{citation
 |last1= Brown
 |first1= Ronald
 |last2= Higgins
 |first2= P. J.
 |title= Colimit theorems for relative homotopy groups
 |journal= Journal of Pure and Applied Algebra
 |year= 1981
 |volume= 22
 |pages= 11–41
 |issn= 0022-4049
 |doi= 10.1016/0022-4049(81)90080-3
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* {{citation
 |last1= Brown
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 |first2= J.-L.
 |title= Homotopical excision, and Hurewicz theorems, for n-cubes of spaces
 |journal= Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series
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 |issn= 0024-6115
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 |last1= Brown
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 |journal= [[Topology (journal)|Topology]]
 |year= 1987
 |volume= 26
 |pages=311–334
 |issn= 0040-9383
 |doi= 10.1016/0040-9383(87)90004-8
 |issue= 3
 }}
* {{citation
 |last= Rotman
 |first= Joseph J.<!--
 |author-link= Joseph J. Rotman--><!-- missing link -->
 |title= An Introduction to Algebraic Topology
 |publisher= [[Springer-Verlag]]
 |year= 1988
 |publication-date= 1998-07-22
 |series= [[Graduate Texts in Mathematics]]
 |volume= 119
 |isbn= 978-0-387-96678-6
 }}
* {{citation
 |last= Whitehead
 |first= George W.
 |author-link= George W. Whitehead
 |title= Elements of Homotopy Theory
 |publisher= [[Springer-Verlag]]
 |year= 1978
 |series= [[Graduate Texts in Mathematics]]
 |volume= 61
 |isbn= 978-0-387-90336-1
 }}

[[Category:同伦论]]
[[Category:同调论]]
[[Category:拓撲學理論]]