查看“︁背景场方法”︁的源代码

{{orphan|time=2019-10-11}}
{{noteTA
|G1 = Physics
}}
在[[量子场论]]中，'''背景场方法'''是通过将场系统中一些量子场写成经典场（称为背景场）和量子场的叠加，从而计算原来的量子场的{{tsl|en|Effective action|有效作用量}}的方法。由于该方法能给出保持[[规范对称性]]的结果，它常被用于[[规范场]]的量子化。<ref name="intro">{{cite journal
   | last1=Abbott
   | first1=L. F.
   | title=Introduction to the Background Field Method
   | journal=Acta Phys. Pol. B
   | volume=13
   | page=33
   | year=1982
   | url=http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic721083.files/Background_field_abbott.pdf
   | access-date=2018-04-03
   | archive-date=2017-05-10
   | archive-url=https://web.archive.org/web/20170510190151/http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic721083.files/Background_field_abbott.pdf
   }}</ref><ref name="stat">{{cite book
   | last=Kleinert
   | first=Hagen
   | author-link=Hagen Kleinert
   | title=Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets
   | edition=5
   | year=2009
   | publisher=World Scientific
  }}</ref>
  
== 原理 ==
量子场的{{tsl|en|Correlation_function_(quantum_field_theory)|关联函数|格林函数}}可以由其生成泛函<math>Z[J]</math>对外源<math>J</math>的泛函微商给出：<ref name="intro"/>
:<math> Z[J] = \int \mathcal D \phi \exp\left(\mathrm{i} \int \mathrm{d}^d x (\mathcal L [\phi(x)] + J^a (x)\phi^a(x))\right) </math>

{{tsl|en|Ursell function|连通格林函数}}的生成泛函<math>W[J]</math>为：<ref name="intro"/>
:<math> W[J] =  -\mathcal i \ln(Z[J])</math>

有效作用量<math>\Gamma[\phi]</math>为<math>W[J]</math>的[[勒让德变换]]：<ref name="intro"/>
:<math> \Gamma[\phi] =  W[J]-  \int \mathrm{d}^d x  J^a (x)\phi^a(x)</math>，其中<math>J</math>由方程<math> \phi = \frac{\delta W[J]}{\delta J}</math>决定。<math>\Gamma[\phi]</math>也是单粒子不可约格林函数的生成泛函。<ref name="peskin"/>

如果将<math>\phi</math>写成经典场<math>B</math>（称为背景场）和量子场<math>\eta</math>的叠加：
: <math> \phi(x) = B(x) + \eta (x)</math>.

则同样可以定义背景场存在下量子场<math>\eta</math>的生成泛函<math>Z[J,B]</math>，<math>W[J,B]</math>和有效作用量<math> \Gamma[\eta,B]</math>：<ref name="intro"/>
:<math> Z[J,B] = \int \mathcal D \eta \exp\left(\mathrm{i} \int \mathrm{d}^d x (\mathcal L [\eta(x)+B(x)] + J^a (x)\eta^a(x))\right) </math>
:<math> W[J,B] =  -\mathcal i \ln(Z[J,B])</math>
:<math> \Gamma[\eta,B] =  W[J,B]-  \int \mathrm{d}^d x  J^a (x)\eta^a(x)</math>，<math> \eta^{a} = \frac{\delta W[J,B]}{\delta J^{a}}</math>

对<math>Z[J,B]</math>的路径积分表达式作<math>\eta\to\phi-B</math>的变量代换，可以证明：<ref name="intro"/><ref name="beyond one loop"/>
:<math>\Gamma[\eta,B]=\Gamma[\phi]_{\phi=\eta+B}</math>，特别地，<math>\Gamma[0,B]=\Gamma[\phi]_{\phi=B}</math>

因此，为计算量子场<math>\phi</math>的有效作用量<math>\Gamma[\phi]</math>，只需计算<math>\Gamma[0,B]=\Gamma[\phi]_{B=\phi}</math>，此方法即为背景场方法。实际计算通常会使用[[微扰论|微扰方法]]：将作用量<math>S[\eta+B]</math>中<math>\eta</math>的二次项当作无扰的作用量，用以构建<math>\eta</math>场的传播子，包含<math>\eta</math>更高阶次的项则视为相互作用项，并以微扰展开的方法处理。在这种处理下，<math>\Gamma[0,B]</math>是背景场存在时，所有单粒子不可约的{{tsl|en|Feynman_diagram#Vacuum_bubbles|真空图}}的贡献之和<ref name="intro"/><ref name="pinch"/><ref>{{cite book|url=http://link.springer.com/10.1007/3-540-16064-7|title=Selected Topics in Gauge Theories |publisher= SpringerLink|language=en-gb|accessdate=2018-04-05|doi=10.1007/3-540-16064-7|section=3 Background field methods|page=47-71}}</ref>。量子场只出现在这些图的内线中，而背景场只出现在这些图的外线中。进行[[重整化]]时，背景场的[[场强]]需要[[重整化]]，但量子场的场强不需要重整化<ref name="beyond one loop">{{cite journal|url=http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0550321381903710|pages=189–203|title=The background field method beyond one loop|journal=Nuclear Physics B|volume=185|issue=1|accessdate=2018-04-05|doi=10.1016/0550-3213(81)90371-0|author=L.F. Abbott|archive-date=2022-03-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20220310130946/https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0550321381903710}}</ref>。

== 应用 ==
背景场方法常被用于规范场的量子化。描述规范场论时，通常会从一个规范对称的作用量出发。然而为了量子化规范场，需要向作用量中引入规范固定项（对于非阿贝尔规范场还需引入[[鬼场]]），如下所示：<ref name="stat"/><ref name="peskin">{{cite book
   | last1=Peskin
   | last2=Schroeder
   | first2=Daniel
   | first1=Michael
   | title=Introduction to Quantum Field Theory
   | publisher=Perseus Publishing
   | year=1994
   | isbn=0-201-50397-2
  }}</ref>
:<math> Z[J] = \int \mathcal D \mathcal A \times \det[\frac{\delta \mathcal G^{a}}{\delta \theta^{b}} ]\times \exp\left(\mathrm{i} \int \mathrm{d}^d x (\mathcal L [\mathcal A(x)] -\frac{1}{2\xi}(\mathcal G^{a}(\mathcal A(x)))^{2}+ J_{\mu}^a (x)\mathcal A^{a\mu}(x))\right) </math>

其中<math>\mathcal A_{\mu}^{a}</math>是规范场，<math>\mathcal G^{a}(\mathcal A)</math>是引入的规范固定项，<math>\theta</math>是规范群的参数。<ref name="peskin"/>

规范固定后的作用量失去了原有的规范对称性。选取特定的规范并不会对[[可观测量]]的计算带来影响，这些量仍然具有规范对称性。但是不可观测的量，如格林函数、有效作用量以及重整化时引入的抵消项，通常不再具有规范对称性。<ref name="stat"/><ref name="beyond one loop"/>

如果使用背景场方法，在规范场上叠加一个经典场<math>\mathcal B_{\mu}^{a}</math>，并选取如下的规范固定项（这种规范也被称为背景场规范<ref>{{cite |title=量子规范场论讲义 |version=1.0|author=刘川|date=2003}}</ref>）：
:<math> Z[J,\mathcal B] = \int \mathcal D \mathcal A \times \det[\frac{\delta \mathcal G^{a}}{\delta \theta^{b}} ]\times \exp\left(\mathrm{i} \int \mathrm{d}^d x (\mathcal L [\mathcal A(x)+\mathcal B(x)] -\frac{1}{2\xi}(\mathcal G^{a}(\mathcal A(x)))^{2}+ J_{\mu}^a (x)\mathcal A^{a\mu}(x))\right) </math>
:<math>\mathcal G^{a}(\mathcal A)=\partial_{\mu} \mathcal A^{a\mu}+g f^{abc}\mathcal A_{b}^{\mu}\mathcal B_{c\mu} </math>

那么生成泛函<math> Z[J,\mathcal B]</math>在如下的无穷小规范变换下保持不变：<ref name="peskin"/><ref name="beyond one loop"/>
:<math>\mathcal A_{\mu}^a\to \mathcal A_{\mu}^a-f^{abc}\theta^{b}\mathcal A_{\mu}^c</math>；<math>\mathcal B_{\mu}^a\to \mathcal B_{\mu}^a+\frac{1}{g}\partial_{\mu}\theta^{a}-f^{abc}\theta^{b}\mathcal B_{\mu}^c</math>；<math>J_{\mu}^a\to J_{\mu}^a+f^{abc}\theta^{b}J_{\mu}^c</math>

因此，有效作用量<math>\Gamma[0,\mathcal B]</math>具有规范对称性。由它生成的所有单粒子不可约的格林函数也都是规范不变的，并且满足{{tsl|en|Ward–Takahashi_identity|瓦德恒等式}}（在一般的规范下，格林函数只满足更为复杂的{{tsl|en|Slavnov–Taylor_identities|斯拉夫诺夫－泰勒恒等式}}）。运用背景场方法令规范场论变得更易于理解，同时也大大简化了计算。<ref name="pinch">{{cite journal|url=http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0370269394901627|pages=420–426|title=Gauge invariance of Green functions: background-field method versus pinch technique|journal=Physics Letters B|volume=333|issue=3-4|accessdate=2018-04-05|doi=10.1016/0370-2693(94)90162-7|author=A. Denner, G. Weiglein, S. Dittmaier|archive-date=2020-02-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20200213060527/https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0370269394901627}}</ref>

背景场方法也可用来处理[[标准模型|电弱标准模型]]，这种情况下，除了要为规范场引入背景场，也要为[[希格斯场]]引入背景场，并将[[对称性破缺]]带来的希场[[真空期望值]]放入背景场中，以避免树图水平上规范场和希场自由度的混合（参见{{tsl|en|Gauge_fixing#Rξ_gauges|Rξ规范}}）<ref name="pinch"/><ref>{{cite journal|url=http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/055032139500037S|pages=95–128|title=Application of the background-field method to the electroweak standard model|journal=Nuclear Physics B|volume=440|issue=1-2|accessdate=2018-04-05|doi=10.1016/0550-3213(95)00037-s|author=Ansgar Denner, Georg Weiglein, Stefan Dittmaier|archive-date=2018-06-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20180628202624/https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/055032139500037S}}</ref>。此外，背景场方法亦被用于处理引力和[[超引力]]相关的理论<ref name="intro"/>。

==参考文献==
{{reflist|40em}}

{{量子场论}}

[[Category:量子场论]]
[[Category:规范理论]]