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{{NoteTA|G1=Math|1=zh:上同調;zh-hans:上同调;zh-hant:餘調}}
在[[同調代數]]中，'''群上同調'''是一套研究[[群]]及其[[表示理論|表示]]的代數工具。群上同調源於[[代數拓撲]]，在[[代數數論]]上也有重要應用；它是現代[[類域論]]的基本構件之一。

==起源==
群論中的指導思想之一，是研究群 <math>G</math> 及其表示的關係。群 <math>G</math> 的表示是 '''<math>G</math>-模'''的特例：一個 <math>G</math>-模是一個[[阿貝爾群]] <math>M</math> 配上 <math>G</math> 在 <math>M</math> 上的[[群作用]] <math>G \to \mathrm{End}(M)</math>。等價的說法是：<math>M</math> 是[[群環]] <math>\Z[G]</math> 上的模。通常將 <math>G</math> 的作用寫成乘法 <math>m \mapsto gm</math>。全體 <math>G</math>-模自然地構成一個[[阿貝爾範疇]]。

對給定的 <math>G</math>-模 <math>M</math>，最重要的子群之一是其 '''<math>G</math>-不變子群'''

:<math> M^{G} = \lbrace x \in M : \forall g \in G \  gx=x \rbrace. </math>

若 <math>N \subset M</math> 是一個 <math>G</math>-子模（即：是 <math>M</math> 的子群，且在 <math>G</math> 的作用下不變），則 <math>M/N</math> 上賦有自然的 <math>G</math>-模結構，<math>N^G \subset M^G</math>，但是未必有 <math>(M/N)^G = M^G/N^G</math>。第一個群上同調群 <math>H^1(G,N)</math> 可以設想為兩者間差異的某種量度。一般而言，可以定義一族函子 <math>H^n(G,-)</math>，其間關係可以由[[長正合序列]]表示。

==形式建構==
以下假設 <math>G</math> 為[[有限群]]，全體 <math>G</math>-模構成[[阿貝爾範疇]]，其間的態射 <math>\mathrm{Hom}_G(M,N)</math> 定義為滿足 <math>f(gx)=gf(x)</math> 的群同態 <math>f: M \to N</math>。由於此範疇等價於 <math>\Z[G]</math>-模範疇，故有充足的[[內射對象]]。

函子 <math>M \to M^G</math> 是從 <math>G</math>-模範疇映至[[阿貝爾群]]範疇的左正合函子。定義 <math>H^n(G,M)</math> 為其[[導函子]]。根據導函子的一般理論，可知：
* <math>H^0(G,M)=M^G</math>
* 長正合序列：若 <math>0 \to M' \to M \to M'' \to 0</math> 為 <math>G</math>-模的[[短正合序列]]，則導出相應的長正合序列
: <math>\cdots \to H^{i-1}(G,M'') \to H^i(G,M') \to H^i(G,M) \to H^i(G,M'') \to H^{i+1}(M') \to H^{i+1}(M) \to \cdots</math>

在上述定義中，若固定一個域 <math>k</math>，並以 <math>k[G]</math> 代替 <math>\Z[G]</math>，得到的上同調群依然同構。

==標準分解==
導出函子的定義來自[[內射分解]]，不便於具體計算。然而注意到 <math>M^G = \mathrm{Hom}_G(\Z,M)</math>，其中 <math>\Z</math> 被賦予平凡的 <math>G</math> 作用：<math>gx = x</math>，故群上同調可以用[[Ext函子]]表達為
: <math>H^i(G,M) = \mathrm{Ext}^i(\Z,M)</math>
另一方面，<math>G</math>-模範疇中也有充足的[[射影對象]]，若取一 <math>\Z</math> 的射影分解 <math>0 \leftarrow \Z \leftarrow P_\bullet</math>，則有自然的同構 <math>\mathrm{Ext}^i(\Z,M) \simeq H^i(\mathrm{Hom}(P_\bullet,M))</math>。最自然的分解是'''標準分解'''
: <math>L_i := \sum_{(g_0,\ldots,g_i) \in G} \Z (g_0,\ldots,g_i) </math>
: <math> g(g_0, \ldots, g_i) = (gg_0, \ldots, gg_i)</math>
: <math>d(g_0, \ldots, g_i) = \sum_{j=0}^i (g_0, \ldots, \hat{g}_j, \ldots, g_i)</math>

而 <math>L_0 \to \Z</math> 由 <math>g_0 \mapsto 1</math> 給出。

定義 <math>K^i := \mathrm{Hom}_G(L_i, M)</math>，其元素為形如 <math>f: G^{i+1} \mapsto M</math> 的函數，並滿足 <math>f(gg_0, \ldots, gg_i) = gf(g_0, \ldots, g_i)</math>，稱之為'''齊次上鏈'''。根據 <math>G</math> 在 <math>L_i</math> 上的作用，這種 <math>f</math> 由它在形如 <math>(e, g_1, g_1 g_2, \ldots, g_1 \ldots, g_i)</math> 的元素上的取值確定。藉此，可將上鏈複形 <math>K^i</math> 描述為 
* <math>K^i</math> 的元素為 <math>G^i \to M</math> 之函數。
* <math>(df)(g_1, \ldots, g_{i+1}) = g_1 f(g_2, \ldots, g_{i+1}) + \sum_{j=1}^i (-1)^j f(g_1, \ldots, g_j g_{j+1}, \ldots, g_{i+1}) + (-1)^{i+1} f(g_1, \ldots, g_i)</math>

其中的元素稱為'''非齊次上鏈'''。

綜上所述，得到 <math>H^i(K^\bullet) = H^i(G, M)</math>。

==例子==
較常用的上同調是 <math>H^1</math> 與 <math>H^2</math>。從標準分解可導出以下的描述：
: <math>H^1(G, M) = \dfrac{\{ f: G \to M | \forall g, g', \;  f(gg') = gf(g') + f(g) \}}{\{f: G \to M : \exists m\, \forall g, \; f(g) = gm-m\}}</math>
準此要領，亦有
: <math>H^2(G,M) = \dfrac{\{ f: G^2 \to M |  gf(g',g'')-f(gg',g'') + f(g,g'g'') - f(g,g')=0 \}}{\{ f: G^2 \to M : \exists h: G \to M, f(g,g')=gh(g')-h(gg')+h(g) \}}</math>

==群同調==
上述理論有一對偶版本：對於任一 <math>G</math>-模 <math>M</math>，定義 <math>DM</math> 為形如 <math>gm-m</math> 的元素生成之子模。考慮從 <math>G</math>-模範疇映至阿貝爾群範疇的函子
: <math>M \to M_G := M/DM = \Z \otimes_{\Z[G]} M</math>

這是一個右正合函子，其導出函子稱為為'''群同調''' <math>H_n(G,M)</math>。群同調可以藉[[Tor函子]]描述為
: <math>H_i(G,M) \simeq \mathrm{Tor}^{\Z[G]}_i (\Z, M)</math>

對於有限群，群同調與群上同調可在[[塔特上同調群]]的理論下得到一貫的描述。

==非阿貝爾群上同調==
將上述定義中的 <math>G</math>-模 <math>M</math> 改成一般的群 <math>A</math>（未必交換），並帶有 <math>G</math> 的作用 <math>a \mapsto g(a)</math>（稱之為 <math>G</math>-群）。此時仍然可以定義第零個及第一個群上同調：
: <math>H^0(G,A) := A^G = \{a \in A | \forall g \in G, \; g(a)=a \}</math>
: <math>H^1(G,A) := \dfrac{\{ a_s : G \to A | \forall s,t \in G, \; a_{st} = a_s s(a_t)\}}{\{ b_s: G \to A | \exists a, b_s = a^{-1} s(a)\}}</math>
須留意 <math>H^0(G,A), H^1(G,A)</math> 並不是群，而是帶有一個指定元素的集合（來自 <math>A</math> 的單位元素），以下所謂的正合性，都應該在此意義下理解。

若 <math>1 \to A \to B \to C \to 1</math> 是 <math>G</math>-群的短正合序列，則有長正合序列
: <math>1 \to A^G \to B^G \to C^G \to H^1(G,A) \to H^1(G,B) \to H^1(G,C)</math>
若 <math>A</math>落在 <math>B</math> 的中心，此序列右端可再加一項 <math>H^1(G,C) \to H^2(G,A)</math>。

==性質==
===Res 與 Cor===
若 <math>f: H \to G</math> 為群同態，則可將任一 <math>G</math>-模透過 <math>f</math> 視為 <math>H</math>-模，此運算導出上同調之間的映射
: <math>H^\bullet(G,M) \to H^\bullet(H, M)</math>
此映射與群上同調的長正合序列相容。當 <math>H</math> 是 <math>G</math> 的子群而 <math>f</math> 是包含映射，導出的映射稱為'''限制映射'''，記為 Res。

由於我們假設 <math>G</math> 為有限群，必有 <math>(G:H) < \infty</math>，此時映射
: <math>N_{G/H}: M^H \to M^G, \quad N_{G/H}(m) := \sum_{g \in G/H} gm</math>
導出一個上限制映射 <math>\mathrm{Cor}: H^\bullet(H,M) \to H^\bullet(G,M)</math>。

: '''定理'''. <math>\mathrm{Cor} \circ \mathrm{Res} = (G:H) \mathrm{id}</math>

===中心擴張===
若 <math>M</math> 是平凡的 <math>G</math> 模（即 <math>\forall g \in G, \; gm=m</math>），則 <math>H^2(G,M)</math> 中的元素一一對應於 <math>G</math> 對 <math>M</math> 的[[群擴張|中心擴張]]的等價類
: <math>0 \to M \to E \stackrel{p}{\to} G \to 1</math>

中心擴張意謂：<math>0 \to M \to E \to G \to 1</math> 是[[群擴張]]，而且 <math>M</math> 落在 <math>E</math> 的中心內。

具體描述方法是：任取一映射 <math>s: G \to E, p\circ s = \mathrm{id}_G</math>。<math>s</math> 不一定是群同態，但存在函數 <math>f: G^2 \to M</math> 使得 <math>s(g)s(g')=f(g,g')s(gg')</math>。<math>s</math> 及 <math>f</math> 刻劃了 <math>E</math> 的群結構。不難驗證 <math>f \in K^2</math> 滿足 <math>df=0</math>，而 <math>s</math> 的選取對應於 <math>f \mapsto f + dh, h \in K^1</math>，所以 <math>f \in H^2(G,A)</math> 僅決定於唯一的一個中心擴張。反之，任一 <math>f \in H^2(G,A)</math> 都來自於某個中心擴張，證畢。

===譜序列===
若 <math>N \subset G</math> 是 <math>G</math> 的[[正規子群]]，則有下述譜序列
: <math> H^p(G/N, H^q(N,A)) \implies H^{p+q}(G,A).\,  </math>

對於[[射影有限群]]，此式依然成立。
==參考文獻==
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* {{Citation | last1=Milne | first1=James | year=2007 | title=Class Field Theory | url=http://www.jmilne.org/math | accessdate=2007-11-18 | archive-date=2012-04-02 | archive-url=https://www.webcitation.org/66d42DClM?url=http://www.jmilne.org/math | dead-url=no }}, Chapter II
* {{Citation | last1=Rotman | first1=Joseph | year=1995 | title=An Introduction to the Theory of Groups | publisher=Springer-Verlag | isbn=978-0-387-94285-8 | id={{MathSciNet | id = 1307623}}  }}
* {{Citation | last1=Serre | first1=Jean-Pierre | title=Corps locaux | publisher=Hermann| location=Paris| isbn=2-7056-1296-3| year=1968}}, Chapitre VII
* {{Citation | last1=Serre | first1=Jean-Pierre | title=Cohomologie galoisienne | edition=Fifth | publisher=Springer-Verlag| location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics | isbn=978-3-540-58002-7 | id={{MathSciNet | id = 1324577}} | year=1994 | volume=5}}
* {{Citation | last1=Shatz | first1=Stephen S. | title=Profinite groups, arithmetic, and geometry | publisher=Princeton University Press | location=Princeton, NJ | isbn=978-0-691-08017-8 | id={{MathSciNet | id = 0347778}} | year=1972}}

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