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[[Image:Cornu Spiral.svg|250px|thumb|双头欧拉螺线]]
[[File:mc_CornuSpiral.png|right|羊角螺线]]

'''羊角螺线'''（clothoid），又稱'''欧拉螺线'''（{{lang|en|Euler spiral}}），是形式为

:<math>x=C(t)</math>
:<math>y=S(t)</math>

的[[曲线]]，其中<math>C(t)</math>、<math>S(t)</math>为 '''[[Fresnel積分]]'''：

:<math>S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!},</math>
:<math>C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.</math>

上面[[參數方程]]的參數<math>t</math>，也是螺線於該點的[[曲率]]：<math>\kappa(t) = 2t</math>。

兩個螺線的中心位於<math>\pm ( \frac{\sqrt{2\pi}}{4},\frac{\sqrt{2\pi}}{4})</math>

[[File:fresnel_integrals.svg|500px|center]]

由於此螺線的曲率與長度成正比，故常用於公路工程或鐵路工程，以缓和直路线与圆曲路线之间的曲率變化（向心力變化）。

在[[光學]]上，[[近場繞射]]（Fresnel繞射）中會應用Fresnel積分。

==性质==

*<math>C(x)</math>和<math>S(x)</math>是<math>x</math>的[[奇函数]]。

*<math>C</math>和<math>S</math>是[[整函数]]。

* 利用以上的幂级数展开式，可以把Fresnel积分扩展到[[复数 (数学)|复数]]范围，它是[[解析函数]]。Fresnel积分可以用[[误差函数]]来表示：

::<math>S(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{-i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)</math>
::<math>C(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{-i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)</math>.

*<math>C(x)</math>和<math>S(x)</math>所定义的积分不能表示为[[初等函数]]。当''<math>x</math>''趋于无穷大时，函数的值为：

::<math>\int_{0}^{\infty} \cos t^2\,dt = \int_{0}^{\infty} \sin t^2\,dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.</math>

==参见==
*[[双曲螺线]]
*[[圆内螺线]]
*[[等角螺线]]
*[[费马螺线]]
*[[连锁螺线]]
*[[阿基米德螺线]]

{{geometry-stub}}

[[Category:曲线]]
[[Category:螺线]]