查看“︁线性近似”︁的源代码

{{expand|time=2013-08-25T02:53:20+00:00}}{{unreferenced|time=2013-08-25T02:53:20+00:00}}
[[File:TangentGraphic2.svg|thumb|300px|在 (''a'', ''f''(''a'')) 处的切线]] 

在[[数学]]中，'''线性近似'''就是用[[线性函数]]对普通[[函数]]进行近似。这个线性函数称为[[仿射变换|仿射函数]]。

例如，有一个[[实数]]变量的可导函数 ''f''，根据 ''n''=1 的[[泰勒公式]]

:<math> f(x) = f(a) + f\ '(a)(x - a) + R_2 </math>

其中 <math>R_2</math> 是余数。舍去余数就是线性近似：

:<math> f(x) \approx f(a) + f\ '(a)(x - a)</math>

当 ''x'' 无限接近于 ''a'' 的时候这个等式成立。右侧的表示是 ''f'' 在点 (''a'', ''f''(''a'')) 处的[[切线]]，因此这个过程也叫作'''切线近似'''。

我们也可以对以[[向量]]作为变量的向量函数作线性近似，这时在该点的导数用[[雅可比矩阵]]代替。例如，一个有实数变量的可导函数 <math>f(x, y)</math>，可以用函数 <math>f(x, y)</math> 在接近 <math>(a, b)</math> 的 <math>(x, y)</math> 点处的值来近似
:<math>f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(a,b\right)\left(y-b\right).</math>

方程右侧是 <math>z=f(x, y)</math> 在点 <math>(a, b).</math> 处的平面切线。

在更具普遍意义的[[巴拿赫空间]]上，

:<math> f(x) \approx f(a) + Df(a)(x - a)</math>

其中 <math>Df(a)</math> 是函数 <math>f</math> 在 <math>a</math> 处的 [[Fréchet 导数]]。

== 例子 ==
可以通过下面的过程求得 <math>\sqrt[3]{25}</math> 的值。

# 设函数 <math> f(x)= x^{1/3}.\,</math> ，问题简化为求 <math>f(25)</math> 的值。
# 可以得到 
#: <math> f\ '(x)= 1/3x^{-2/3}.</math>
# 根据线性近似 
#: <math> f(25) \approx f(27) + f\ '(27)(25 - 27) = 3 - 2/27.</math>
# 结果 2.926 非常接近于实际值 2.924

[[Category:微分学]]
[[Category:数值分析]]
[[Category:一阶方法]]