线性近似

在 (a, f(a)) 处的切线

在数学中，线性近似就是用线性函数对普通函数进行近似。这个线性函数称为仿射函数。

例如，有一个实数变量的可导函数 f，根据 n=1 的泰勒公式

f (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + R_{2}

其中 $R_{2}$ 是余数。舍去余数就是线性近似：

f (x) \approx f (a) + f^{'} (a) (x - a)

当 x 无限接近于 a 的时候这个等式成立。右侧的表示是 f 在点 (a, f(a)) 处的切线，因此这个过程也叫作切线近似。

我们也可以对以向量作为变量的向量函数作线性近似，这时在该点的导数用雅可比矩阵代替。例如，一个有实数变量的可导函数 $f (x, y)$ ，可以用函数 $f (x, y)$ 在接近 $(a, b)$ 的 $(x, y)$ 点处的值来近似

f (x, y) \approx f (a, b) + \frac{\partial f}{\partial x} (a, b) (x - a) + \frac{\partial f}{\partial y} (a, b) (y - b) .

方程右侧是 $z = f (x, y)$ 在点 $(a, b) .$ 处的平面切线。

在更具普遍意义的巴拿赫空间上，

f (x) \approx f (a) + D f (a) (x - a)

其中 $D f (a)$ 是函数 $f$ 在 $a$ 处的 Fréchet 导数。

例子

可以通过下面的过程求得 $\sqrt[3]{25}$ 的值。