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{{微積分學}}
'''线性微分方程'''（{{lang-en|Linear differential equation}}）是数学中常见的一类微分方程。指以下形式的[[微分方程]]：

: <math> \mathcal{L}(y) = f \qquad \ldots \; \; (*)</math>

其中方程左侧的[[微分算子]]<math>\mathcal{L}</math>是[[线性算子]]，{{mvar|y}}是要解的未知函数，方程的右侧是一个已知函数。如果{{mvar|f}}({{mvar|x}}) {{math|{{=}}}} 0，那么方程(*)的解的线性组合仍然是解，所有的解构成一个[[向量空间]]，称为'''解空间'''。这样的方程称为'''齐次线性微分方程'''。当{{mvar|f}}不是零函数时，所有的解构成一个[[仿射空间]]，由对应的齐次方程的解空间加上一个特解得到。这样的方程称为'''非齐次线性微分方程'''。线性微分方程可以是[[常微分方程]]，也可以是[[偏微分方程]]。

== 简介 ==
线性微分方程是一类特殊的微分方程。一个线性微分方程的解构成向量空间或仿射空间，因此可以应用相关的代数知识来讨论解的性质。线性微分方程的普遍形式为：
: <math> \mathcal{L}(y) = f \qquad \ldots \; \; (*)</math>
其中的<math>\mathcal{L}</math>是一个线性的微分算子，也就是说，设有两个函数<math>y_1</math>和<math>y_2</math>以及两个常数<math>\lambda_1</math>和<math>\lambda_2</math>，那么：
: <math> \mathcal{L}(\lambda_1 y_1 +\lambda_2 y_2) = \lambda_1 \mathcal{L}(y_1) + \lambda_2 \mathcal{L}(y_2).</math>
如果{{mvar|f}}是零函数，那么给定若干个方程(*)的解函数：<math>y_1, y_2 , \cdots , y_m</math>以及同样多的常数系数：<math>\lambda_1, \lambda_2 , \cdots , \lambda_m</math>，线性组合<math>\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2 + \cdots + \lambda_m y_m</math>仍然是方程(*)的解函数。这说明所有方程(*)的解函数构成一个线性空间{{mvar|V}}，称为方程的解空间。如果{{mvar|f}}不是零函数，那么考虑相应的齐次线性微分方程：
: <math> \mathcal{L}(y) = 0 \qquad \ldots \; \; (**)</math>
设<math>y^s</math>是方程(*)的一个解函数。<math>y</math>方程(**)的任意一个解函数。则它们的和<math>y^s + y</math>仍然是(*)的解函数。另一方面，给定方程(*)的两个解函数：<math>y_1^s</math>和<math>y_2^s</math>。则它们的差<math>y_1^s - y_2^s</math>会是方程(**)的解函数。这说明方程(*)的所有解函数都可以写成<math>y^s + y, \; y \in V</math>的形式。其中{{mvar|V}}是方程(**)的解空间。所以方程(*)的所有解函数构成一个仿射空间{{mvar|V'}}，并且<math>V' = y^s + V</math>。

==常系数齐次线性微分方程==

一种解线性微分方程的方法是[[欧拉]]发现的，他意识到这类方程的解都具有<math>e^{z x}</math>的形式，其中<math>z</math>是某个复数。因此，对于以下方程：

:<math>\frac {d^{n}y} {dx^{n}} + A_{1}\frac {d^{n-1}y} {dx^{n-1}} + \cdots + A_{n}y = 0</math>

我们设<math>y=e^{z x}</math>，可得：

:<math>z^n e^{zx} + A_1 z^{n-1} e^{zx} + \cdots + A_n e^{zx} = 0.</math>

两边除以''e''<sup>&nbsp;''zx''</sup>，便得到了一个''n''次方程：

:<math>F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0.\,</math>

这个方程''F''(''z'') = 0称为'''特征方程'''。

一般地，把微分方程中以下的项

:<math>\frac {d^{k}y} {dx^{k}}\quad\quad(k = 1, 2, \dots, n).</math>

换成''z''<sup>''k''</sup>，便可得到特征方程。这个方程有''n''个解：''z''<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''z''<sub>''n''</sub>。把任何一个解代入''e''<sup>&nbsp;''zx''</sup>，便可以得到微分方程的一个解：''e''<sup>&nbsp;''z''<sub>''i''</sub>''x''</sup>。由于齐次线性微分方程满足[[叠加原理]]，因此这些函数的任意[[线性组合]]仍然满足微分方程。

如果特征方程的根都不重复，我们便得到了微分方程的''n''个解。可以证明，这些解是[[线性独立]]的。于是，微分方程的通解就是''y'' = ''C''<sub>1</sub>''e''<sup>&nbsp;''z''<sub>''1''</sub>''x''</sup> + ''C''<sub>2</sub>''e''<sup>&nbsp;''z''<sub>''2''</sub>''x''</sup> + …… + ''C''<sub>n</sub>''e''<sup>&nbsp;''z''<sub>''n''</sub>''x''</sup>，其中''C''<sub>1</sub>、''C''<sub>2</sub>、……、''C''<sub>n</sub>是常数。

以上讨论了''n''个根全不相同的情形。如果这''n''个根中有两个（或多个）相同，用上面的方法就无法得出''n''个线性独立的解。但是，可以验证，如果''z''是特征方程的 ''m''<sub>''z''</sub> 重根，那么，对于 <math>k\in\{0,1,\dots,m_{z}-1\} \,</math>，<math>y=x^ke^{zx} \,</math> 就是微分方程的一个解。对每个特征根 ''z''，都能得到 ''m''<sub>''z''</sub> 个解，所有这些解的线性组合就是方程的通解。

一般地，如果微分方程的系数''A<sub>i</sub>''都是实数，那么它的解也应该表示成实数的形式。假如特征方程有复数根，那么它一定是成对的，也就是说，如果''a'' + ''bi''是特征方程的根，那么''a'' - ''bi''也是一个根。于是，''y'' = ''e''<sup>&nbsp;(''a'' + ''bi'')''x''</sup>和''y'' = ''e''<sup>&nbsp;(''a'' - ''bi'')''x''</sup>都是微分方程的解。但这两个解都是复数的形式。考虑到这两个解的任意线性组合也仍然是微分方程的解，我们可以把这两个解相加，再[[除以二|除以2]]，利用[[欧拉公式]]，便得到一个实数形式的解：''y'' = ''e''<sup>&nbsp;''ax''</sup>cos''bx''。如果把两个解相减，再除以2i，便得到另一个实数形式的解：''y'' = ''e''<sup>&nbsp;''ax''</sup>sin''bx''。于是，''y'' = ''C''<sub>1</sub>''e''<sup>&nbsp;''ax''</sup>cos''bx'' + ''C''<sub>2</sub>''e''<sup>&nbsp;''ax''</sup>sin''bx''就是微分方程的通解。

===例子===

求微分方程<math>y''-4y'+5y=0 \,</math>的通解。特征方程是<math>z^2-4z+5=0 \,</math>，它的根是2+''i''和2−''i''。于是，<math>y= C_1 e^{2x} \cos{x} + C_2 e^{2x} \sin{x} </math>就是微分方程的通解。

==常系数非齐次线性微分方程==

欲得到非齐次线性微分方程的通解，我们首先求出对应的齐次方程的通解，然后用[[待定系数法]]或{{Tsl|ja|定数変化法|常数变易法}}求出非齐次方程本身的一个特解，把它们相加，就是非齐次方程的通解。

===待定系数法===
考虑以下的微分方程：

:<math>\frac {dy} {dx} = y + e^{2x}. \!</math>

对应的齐次方程是：
 
:<math>\frac {dy} {dx} = y.</math>

它的通解是：

:<math>y = c e^x. \!</math>

由于非齐次的部分是(<math>e^{2x}</math>)，我们猜测特解的形式是：

:<math>y_p = A e^{2x}.\!</math>

把这个函数以及它的导数代入微分方程中，我们可以解出''A''：
:<math>\frac{d}{dx} \left( Ae^{2x} \right) = A e^{2x} + e^{2x} \!</math>
:<math>2 A e^{2x} = A e^{2x} + e^{2x} \!</math>
:<math>2 A = A + 1\,\!</math>
:<math>A = 1.\,\!</math>

因此，原微分方程的解是：

:<math>y = c e^x +  e^{2 x}. \!</math>   (<math>c \in R</math>)

===常数变易法===

假设有以下的微分方程：

:<math> y^{\prime\prime} + py^{\prime} + qy = f(x)</math>

我们首先求出对应的齐次方程的通解<math>\ y = C_1 y_1 + C_2 y_2</math>，其中''C''<sub>1</sub>、''C''<sub>2</sub>是常数，''y''<sub>1</sub>、''y''<sub>2</sub>是''x''的函数。然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解，方法是把齐次方程的通解中的常数''C''<sub>1</sub>、''C''<sub>2</sub>换成''x''的未知函数''u''<sub>1</sub>、''u''<sub>2</sub>，也就是：

:<math>y = u_1 y_1 +u_2 y_2 . ~~\mathrm{(1)} </math>

两边求導數，可得：

:<math> y'= u_1'y_1 + u_2' y_2 + u_1y_1' + u_2 y_2'.</math>

我们把函数''u''<sub>1</sub>、''u''<sub>2</sub>加上一条限制：

:<math> u_1'y_1 + u_2'y_2 = 0. ~~\mathrm{(2)}</math>

于是：

:<math> y' = u_1y_1'+u_2y_2'.~~\mathrm{(3)} </math>

两边再求導數，可得：

:<math> y''= u_1'y_1'+u_2'y_2'+u_1y_1''+u_2y_2''.~~\mathrm{(4)}</math>

把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中，可得：

:<math>u_1'y_1'+u_2'y_2'+u_1y_1''+u_2y_2''+pu_1y_1'+pu_2y_2'+qu_1y_1+qu_2y_2 =f(x).</math>

整理，得：

:<math>u_1'y_1'+u_2'y_2'+(u_1y_1''+pu_1y_1'+qu_1y_1)+(u_2y_2''+pu_2y_2'+qu_2y_2)= f(x). </math>

由于''y''<sub>1</sub>和''y''<sub>2</sub>都是齐次方程的通解，因此<math>u_1y_1''+pu_1y_1'+qu_1y_1</math>和<math>u_2y_2''+pu_2y_2'+qu_2y_2</math>都变为零，故方程化为：

:<math>u_1'y_1'+u_2'y_2'=f(x).~~\mathrm{(5)}</math>

(2)和(5)联立起来，便得到了一个<math>u_1'</math>和<math>u_2'</math>的方程组，便可得到<math>u_1'</math>和<math>u_2'</math>的表达式；再积分，便可得到<math>u_1</math>和<math>u_2</math>的表达式。

这个方法也可以用来解高于二阶的非齐次线性微分方程。一般地，有：

:<math>u'_j=(-1)^{n+j}\frac{W(y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1}\ldots,y_n)_{0 \choose f}}{W(y_1,y_2,\ldots,y_n)}.</math>

其中W表示[[朗斯基行列式]]。

==变系数线性微分方程==

''n''阶的变系数微分方程具有以下形式：
:<math>p_{n}(x)y^{(n)}(x) + p_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x) + \cdots + p_0(x) y(x) = r(x).</math>

一个例子是[[柯西-欧拉方程]]：

:<math>x^n y^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 y(x) = 0.</math>

变系数线性微分方程通常没有一般的方法可以求解，但一阶的变系数线性微分方程是例外。设有以下的一阶变系数线性微分方程：

:<math>\ Dy(x) + f(x) y(x) = g(x).</math>

这个方程可以用[[积分因子]]求解，方法是把两边乘以<math>e^{\int f(x)\,dx}</math>：

:<math> Dy(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x) \, dx},</math>

用[[乘法定则]]，可以简化为：

: <math> D (y(x)e^{\int f(x)\,dx})=g(x)e^{\int f(x)\,dx}</math>

两边积分，得：

: <math> y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+c ~,</math>

: <math> y(x) = {\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+c \over e^{\int f(x)\,dx}} ~.</math>

也就是说，一阶线性微分方程<math>y'(x) + p(x) y(x) = r(x)</math>的解是：

:<math>y=e^{-a(x)}\left(\int r(x) e^{a(x)}\, dx + \kappa\right)</math>

其中<math>\kappa</math>是积分常数，且

: <math>a(x)=\int{p(x)\,dx}.</math>

===例子===
考虑以下一阶线性微分方程：

:<math>\frac{dy}{dx} + b y = 1.</math>

''p''(''x'') = b，''r''(''x'') = 1，因此微分方程的解为：

:<math>y(x) = e^{-bx} \left( \frac{e^{bx}}{b}+ C \right) = \frac{1}{b} + C e^{-bx} .</math>

== 拉普拉斯变换解微分方程==

应用拉普拉斯变换解线性微分方程显得更为方便简单。

首先有以下关系：

: <math>\mathcal{L}\{f'\}
  = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)</math>
: <math>\mathcal{L}\{f''\}
  = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)</math>
: <math>\mathcal{L}\{f^{(n)}\} 
  = s^n \mathcal{L}\{f\} - \Sigma_{i = 1}^{n}s^{n - i}f^{(i - 1)}(0).</math>

有如下微分方程：

: <math>\sum^n_{i=0}a_if^{(i)}(t)=\phi(t).</math>

该方程可变换为：

: <math>\sum^n_{i=0}a_i\mathcal{L}\{f^{(i)}(t)\}=\mathcal{L}\{\phi(t)\}</math>

则：

<math>\mathcal{L}\{f(t)\}={\mathcal{L}\{\phi(t)\}+\sum^n_{i=1}a_i\sum^i_{j=1}s^{i-j}f^{(j-1)}(0) \over \sum^n_{i=0}a_is^i}.</math>

其中 <math>f^{(k)}(0)</math> 是初始条件。

''f''(''t'')  通过拉普拉斯反变换 <math>\mathcal{L}\{f(t)\}</math> 求得。


==参见==
*[[拉普拉斯变换]]
*[[傅里叶变换]]
*[[里卡蒂方程]]
*[[伯努利微分方程]]
*[[柯西-欧拉方程]]
*[[克莱罗方程]]
*[[全微分方程]]

==参考文献==
* Stanley J. Farlow(1994). ''An introduction to differential equations and their applications''. McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-020030-0. p.131-139, p.158-162.

[[Category:微分方程]]