查看“︁级数展开”︁的源代码

{{Unreferenced|time=2022-04-18T22:11:45+00:00}}
[[File:Taylor_cos.gif|链接=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Taylor_cos.gif|替代=Approximation of cosine by a Taylor series|缩略图|一个展示余弦函数被连续截断的麦克劳林级数逼近的动画。]]
在数学中，'''级数展开'''是将一个函数展开成[[级数]]，或无穷和的形式。它是一种计算仅靠基本运算符（加、减、乘、除）无法表达的函数的方法。

由此产生的级数往往可以通过仅取有限项，产生近似。序列中使用的项越少，近似就越简单。由于省略的部分和产生的不精确通常可以用包含[[大O符号]]的方程来描述。对于非[[解析函数]]，开放区间上的级数展开是一个近似值。 

== 级数展开的种类 ==
这里介绍了若干种级数展开的方式：

[[泰勒级数]]是基于函数在一个点上的导数的[[幂级数]]。具体来说，如果函数 <math>f: U\mapsto\mathbb{R}</math> 在<math>x_0</math>附近是无限可微的，那么<math>f</math>在该点周围的泰勒级数为<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n</math>，按照惯例<math>0^0 := 1</math>。<math>f</math>的麦克劳林级数是其在<math>x_0 = 0</math>处的泰勒数列。[[洛朗级数]]是泰勒级数的延伸，允许负指数项；它的形式是 <math>\sum_{k = -\infty}^{\infty} c_k (z - a)^k</math>并在环内收敛。

广义狄利克雷级数具有 <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a_ne^{-\lambda_n s}</math>的形式。它的一个重要特例是狄利克雷级数<math>\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}</math>。<math>\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}</math>傅里叶级数将周期函数展开成许多正弦和余弦函数之和。更具体地，一个周期为<math>2L</math>的函数<math>f(t)</math>的傅里叶级数为：

<math display="block">a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} \left(a_n\cos\left(\frac{n\pi t}{L}\right) + b_n\sin\left(\frac{n\pi t}{L}\right)\right)</math>

其中系数为：

<math display="block">a_n := \frac{1}{L}\int_{-L}^L f(t)\cos\left(\frac{n\pi t}{L}\right)dt</math><math display="block">b_n := \frac{1}{L}\int_{-L}^L f(t)\sin\left(\frac{n\pi t}{L}\right)dt.</math>在声学中，基音和泛音共同构成了一个傅里叶数列的例子。


斯特林公式<math>\text{Ln}\Gamma\left(z\right)\sim\left(z-\tfrac{1}{2}\right)\ln z-z+\tfrac{1}{2}\ln\left(2\pi\right)+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{2k(2k-1)z^{2k-1}}</math>是对数[[Γ函数]]的一个近似值。

== 例子 ==
下式为<math>e^x </math>的[[泰勒级数]]：

<math>e^x=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}...</math>

[[黎曼ζ函數|黎曼ζ函数]]：

<math>\zeta(s) := \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \cdots</math>

{{Authority control}}
[[Category:級數展開]]