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{{noteTA|G1=Math}}{{No footnotes|time=2017-03-16T00:14:57+00:00}}
'''纖維-{}-束'''（'''fiber bundle''' 或 '''fibre bundle）'''又稱'''纖維-{}-叢'''，在[[数学]]上，特别是在[[拓扑学]]中，是一个局部看来像[[直积]]空间，但是整体可能有不同的结构。每个纤维丛對應一个[[连续]][[满射]]

<math>\pi :E\rightarrow B</math> 

<math>E</math>和乘積空間<math>B\times F</math>的局部類似性可以用映射 <math>\pi</math> 來說明。也就是說：在每個<math>E</math>的局部空間 <math>U</math>，都存在一個相同的<math>F</math>（<math>F</math>稱作纖維空間），使得 <math>\pi</math> 限制在 <math>U</math> 上時　與[[直积空间]]<math>B\times F</math>的投影<math>P:B\times F\mapsto B,\quad P(b, f)=b</math>　相似。（通常會用此滿射：<math>\pi : E\rightarrow B</math>來表示一個纖維叢，而忽略<math>F</math>） 

如果<math>E=B\times F</math>，也就是一个可以整体上等於乘積空間的丛叫做'''''平凡丛'''''（trivial bundle）。

纤维丛扩展了[[向量丛]](vector bundle)，向量丛的主要实例就是[[流形]]的[[切丛]]（tangent bundle）。他们在[[微分拓扑]]和[[微分几何]]领域有着重要的作用。他们也是[[规范场论]]的基本概念。

==正式定義==

一个纤维丛由四元组（<math>E</math>, <math>B</math>, <math>\pi</math>, <math>F</math>）组成，其中<math>E</math>, <math>B</math>, <math>F</math>是[[拓扑空间]]而<math>\pi : E\rightarrow B</math>是一个[[连续]]满射，满足下面给出的局部平凡（local triviality）条件。<math>B</math>称为丛的'''基空间'''（base space），<math>E</math>称为'''总空间'''（total space），而<math>F</math>称为'''纤维'''（fiber）。映射<math>\pi</math>称为'''投影映射'''.下面我们假定基空间<math>B</math>是[[连通空间|连通]]的。

我们要求对于<math>B</math>中的每个點<math>x</math>，存在一个在<math>B</math>中 包含<math>x</math>的开[[邻域]]<math>U</math>，並有一個[[同胚]]映射<math>\varphi : \pi^{-1} (U) \rightarrow U\times F</math> (顯然<math>U\times F</math>是一個乘積空間) ，<math>\varphi</math>並且要滿足 <math>\textstyle \pi(y)=\operatorname{proj}_1\circ\phi(y),\,\forall y\in\pi^{-1}(U)</math>，也就是下圖是可[[交换图表|交换]]的：

<div style="text-align: center;">
[[File:FiberBundle-01.png|Local triviality condition]]
</div>

其中<math>\operatorname{proj}_1: U\times F\rightarrow U</math>是自然投影而<math>\varphi : \pi^{-1} (U) \rightarrow U\times F</math>是一个同胚（這裡的局部平凡條件有些書會定義為 <math>\textstyle x=\pi\circ\varphi^{-1}(x, f),\,\forall x\in U, f\in F</math>）。所有<math>\{ (U_i, \varphi_i) \}</math>的集合称为丛的'''局部平凡化'''。

对于<math>B</math>中每點<math>p</math>，原象（preimage）<math>\pi^{-1}(p)</math>和<math>F</math>同胚并称为點<math>p</math>'''上的纤维'''。一个纤维丛（<math>E</math>, <math>B</math>, <math>\pi</math>, <math>F</math>）经常记为
:<math>F \longrightarrow E \ \xrightarrow{\, \ \pi \ } \ B</math>
以引入一个空间的[[短恰当序列]]。注意每个纖維叢<math>\pi : E\rightarrow B</math>都是一个[[开映射]]，因为积空间的投影是开映射。所以<math>B</math>有由映射<math>\pi</math>决定的[[商拓扑]](quotient topology).

一个'''光滑纤维丛'''是一个在[[光滑流形]]的[[范畴]]内的纤维丛。也就是，<math>E</math>, <math>B</math>, <math>F</math>都必须是光滑流形且所有上面用到的函数都必须是[[光滑映射]]。

== 例子 ==
令<math>E=B\times F</math>并令<math>\pi : E\rightarrow B</math>为对第一个因子的投影，则<math>E</math>是''<math>B</math>''上的丛。这里''<math>E</math>''不仅是局部的积而且是整体的积。任何这样的纤维丛称为'''平凡丛'''。

[[File:MobiusStrip-01.png|thumb|right|莫比乌斯带是圆上的非平凡丛。]]
最简单的非平凡丛的例子可能要算[[莫比乌斯带]]（Möbius strip）。莫比乌斯带是一个以[[圆]]为基空间''<math>B</math>''并以线段为纤维''<math>F</math>''的丛。对于一点<math>x \in B</math>的邻域是一段圆弧；在图中，就是其中一个方块的长。原象<math>\pi^{-1}(U)</math>在图中是个（有些扭转的）切片，4个方块宽一个方块长。同胚<math>\varphi</math>把<math>U</math>的原象映到柱面的一块：弯曲但不扭转。  

相应的平凡丛<math>B\times F</math>看起来像一个[[圆柱]]，但是莫比乌斯带有个整体上的扭转。注意这个扭转只有整体上才能看出来；局部看来莫比乌斯带和圆柱完全一样（在其中任何一个竖直的切一刀会产生同样的空间）。

一个类似的非平凡丛是[[克莱因瓶]]，它可以看作是一个“扭转”的圆在另一个圆上的丛。相应的平凡丛是一个环，<math>S^1\times S^1</math>。

一个'''[[覆盖空间]]'''是一个以[[离散空间]]为纤维的纤维丛。

纤维丛的一个特例，叫做'''[[向量丛]]''',是那些纤维为[[向量空间]]的丛（要成为一个向量丛，丛的结构群—见下面—必须是一个[[线性群]]）。向量丛的重要实例包括光滑流形的[[切丛]]和[[余切丛]]。

另一个纤维丛的特例叫做'''[[主丛]]'''。更多的例子参看该条目。

一个'''球丛'''是一个纤维为[[n維球面]]的纤维丛。给定一个有[[度量]]的向量丛（例如[[黎曼流形]]的切丛），可以构造一个相应的''单位球丛''，其在一点<math>x</math>的纤维是所有<math>E_x</math>的单位向量的集合. 

== 截面 ==
{{main|截面 (纤维丛)}}
纤维丛的'''截面'''（section或者'''cross section'''）是一个连续映射<math>f: B\rightarrow E</math>使得<math>\pi (f(x))=x</math>对于所有''<math>B</math>''中的<math>x</math>成立。因为丛通常没有全局有定义的截面，理论的一个重要作用就是检验和证明他们的存在性。这导致了[[代数拓扑]]的[[示性类]]理论。

截面经常只被局部的定义（特别是当全局截面不存在时）。纤维丛的'''局部截面'''是一个连续映射<math>f:U\rightarrow E</math>其中<math>U</math>是一个''<math>B</math>''中的[[开集]]而<math>\pi (f(x))=x</math>对所有''<math>U</math>''中的''<math>x</math>''成立。若<math>(U,\varphi)</math>是一个局部平凡化图，则局部截面在<math>U</math>上总是存在的。这种截面和连续映射<math>U\rightarrow F</math>有1-1对应。截面的集合组成一个[[层 (数学)|层]]（sheaf）。

==结构群和转移函数==

纤维丛经常有一个对称[[群]]描述重叠的图之间的相容条件。特别的，令<math>G</math>为一个[[拓扑群]]，它连续的从左边[[群作用|作用]]在纤维空间<math>F</math>上。不失一般性的，我们可以要求''<math>G</math>''有效的作用在''<math>F</math>''上，以便把它看成是''<math>F</math>''的[[同胚]]群。纖維叢的一个'''''<math>G</math>''-[[图册 (数学)|图册]]'''（<math>E</math>, <math>B</math>, <math>\pi</math>, <math>F</math>）是之前定義過的''局部平凡化''並且滿足：对任何两个重叠的局部平凡化中的元素也就是图<math>(U_i, \varphi_i)</math>和<math>(U_j, \varphi_j)</math>且 <math>U_i\cap U_j \neq \emptyset</math>，則函数
:<math>\varphi_i\varphi_j^{-1} : (U_i \cap U_j) \times F \to (U_i \cap U_j) \times F</math>
是由以下方式给出：
:<math>\varphi_i\varphi_j^{-1}(x, \xi) = (x, t_{ij}(x)\xi),\quad \forall x\in U_i \cap U_j, \xi\in F</math>
其中 <math>t_{ij} : U_i \cap U_j \to G</math> 是一个称为'''转移函数（transition function）'''的连续映射。两个'''''<math>G</math>'''''-圖冊是等價的如果他们的聯集也是'''''<math>G</math>'''''-圖冊。一个'''''<math>G</math>''-丛'''是有'''''<math>G</math>'''''-圖冊等价类的纤维丛。群'''''<math>G</math>'''''稱为该丛的'''结构群（structure group）。'''

在光滑范畴中，一个'''''<math>G</math>'''''-丛是一个光滑纤维丛，其中'''''<math>G</math>'''''是一个[[李群]]而相应的在''<math>F</math>''上的作用是光滑的并且变换函数都是光滑映射。

转移函数<math>t_{ij}</math>满足以下条件
#<math>t_{ii}(x) = 1</math>
#<math>t_{ij}(x) = t_{ji}(x)^{-1}</math>
#<math>t_{ik}(x) = t_{ij}(x)t_{jk}(x)</math>
第三个条件用到三個相交的 <math>U_i \cap U_j \cap U_k</math>上叫做'''上链条件（cocycle condition，'''见[[Cech上同调|Čech上同调]]）。

一个[[主丛]]是一个'''''<math>G</math>'''''-丛，其纤维可以认为是'''''<math>G</math>'''''本身，并且有一个在全空间上的'''''<math>G</math>'''''的右作用保持纤维不变。

== 参见 ==
* [[向量丛]]
* [[主丛]]
* [[拉回丛]]（pullback bundle）
* [[纤维化 (数学)|纤维化]]
* [[覆盖映射]]
* [[规范场论]]

== 外部链接 ==
*[https://web.archive.org/web/20040808115056/http://planetmath.org/encyclopedia/FiberBundle.html PlanetMath: Fiber Bundle]
*[http://mathworld.wolfram.com/FiberBundle.html MathWorld: Fiber Bundle] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/FiberBundle.html |date=20210213215536 }}

== 参考 ==
*Norman Steenrod, ''The Topology of Fiber Bundles'', Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
*David Bleecker, ''Gauge Theory and Variational Principles'', Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7.  See chapter one.

{{Authority control}}
[[Category:纤维丛|*]]
[[Category:微分几何|X]]
[[Category:代数拓扑]]
[[Category:同伦论]]