查看“︁線性無關”︁的源代码

{{unreferenced|time=2014-08-24T21:11:05+00:00}}
{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh:線性獨立; zh-hans:线性无关; zh-hant:線性獨立;
}}
{{线性代数}}
在[[線性代數]]裡，[[向量空間]]的一組元素中，若沒有[[向量]]可用'''有限個'''其他向量的[[線性組合]]所表示，则稱為'''線-{}-性無關'''或'''線-{}-性獨立'''（{{lang|en|linearly independent}}），反之稱為'''線性相關'''（{{lang|en|linearly dependent}}）。例如在三維[[歐幾里得空間]]'''R'''<sup>3</sup>的三個向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)線性無關。但(2, &minus;1, 1)，(1, 0, 1)和(3, &minus;1, 2)線性相關，因為第三個是前兩個的和。

== 定義 ==

假設{{mvar|V}}是在[[体 (数学)|域]]{{mvar|K}}上的向量空間。如果<math>\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n</math>是{{mvar|V}}的向量，若它們為''線性相關''，则在域K 中有非全零的元素<math>a_1, a_2, \dots, a_n</math>，使得

:<math>a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}</math>；

或更簡略地表示成，

:<math>\sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0}</math>。

（注意右邊的零是{{mvar|V}}的零向量，不是{{mvar|K}}的零元素。）

如果{{mvar|K}}中不存在這樣的元素，那麼<math>\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n</math>是''線性無關''。

對''線性無關''可以給出更直接的定義。向量<math>\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n</math>''線性無關''，若且唯若它們滿足以下條件：如果<math>a_1, a_2, \dots, a_n</math>是{{mvar|K}}的元素，適合：

:<math>a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}</math>，

那麼對所有<math>i = 1, 2, \dots, n</math>都有<math>a_i = 0</math>。

在{{mvar|V}}中的一個無限集，如果它任何一個有限子集都是線性無關，那麼原來的無限集也是線性無關。

線性相關性是線性代數的重要概念，因為線性無關的一組向量可以生成一個向量空間，而這組向量則是這向量空間的[[基 (線性代數)|基]]。

==相關性==
*含有零向量的向量組，必定線性相關。
::若有向量組<math>a_1, a_2, ... , a_s</math>，其中<math>a_1=0</math>，則<math>a_1 = 0 \cdot a_2 + ... + 0 \cdot a_s</math>。
*含有兩個相等向量的向量組，必定線性相關。
::若有向量組<math>a_1, a_2, ... , a_s</math>，其中<math>a_1=a_2</math>，則<math>a_1 = 1 \cdot a_2 + 0 \cdot a_3 + ... + 0 \cdot a_s</math>。
*若一向量組相關，則加上任意個向量後，仍然線性相關；即局部線性相關，整體必線性相關。
*整體線性無關，局部必線性無關。
*向量個數大於向量維數，則此向量組線性相關。
*若一向量組線性無關，即使每一向量都在同一位置處增加一分量，仍然線性無關。
*若一向量組線性相關，即使每一向量都在同一位置處減去一分量，仍然線性相關。
*若<math>a_1, a_2, ... , a_s</math>線性無關，而<math>b, a_1, a_2, ... , a_s</math>線性相關，則<math>b</math>必可由<math>a_1, a_2, ... , a_s</math>線性表示，且表示係數唯一。
*有向量組<math>\textrm{I}\{a_1, a_2, ..., a_s\}</math>和<math>\textrm{II}\{b_1, b_2, ..., b_t\}</math>，其中<math>t>s</math>，且<math>\textrm{II}</math>中每個向量都可由<math>\textrm{I}</math>線性表示，則向量組<math>\textrm{II}</math>必線性相關。即向量個數多的向量組，若可被向量個數少的向量組線性表示，則向量個數多的向量組必線性相關。
*若一向量組<math>b_1, b_2, ..., b_t</math>可由向量組<math>a_1, a_2, ..., a_s</math>線性表示，且<math>b_1, b_2, ..., b_t</math>線性無關，則<math>t \le s</math>。即線性無關的向量組，無法以向量個數較少的向量組線性表示。

==例子1==

设''V''&nbsp;=&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup>，考虑''V''内的以下元素：

:<math>\begin{matrix}
\mathbf{e}_1 & = & (1,0,0,\ldots,0) \\
\mathbf{e}_2 & = & (0,1,0,\ldots,0) \\
& \vdots \\
\mathbf{e}_n & = & (0,0,0,\ldots,1).\end{matrix}</math>

则'''e'''<sub>1</sub>、'''e'''<sub>2</sub>、……、'''e<sub>n</sub>'''是线性无关的。

===证明===

假设''a''<sub>1</sub>、''a''<sub>2</sub>、……、''a<sub>n</sub>''是'''R'''中的元素，使得：

:<math> a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + \cdots + a_n \mathbf{e}_n = 0 . \,\!</math> 

由于
:<math> a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + \cdots + a_n \mathbf{e}_n = (a_1 ,a_2 ,\ldots, a_n) , \,\!</math> 

因此对于{1, ..., ''n''}内的所有''i''，都有''a<sub>i</sub>'' = 0。

==例子2==

设''V''是实变量''t''的所有[[函数]]的[[向量空间]]。则''V''内的函数''e<sup>t</sup>''和''e''<sup>2''t''</sup>是线性无关的。

===证明===

假设''a''和''b''是两个实数，使得对于所有的''t''，都有：

:''ae<sup>t</sup>'' + ''be''<sup>2''t''</sup> = 0

我们需要证明''a'' = 0且''b'' = 0。我们把等式两边除以''e''<sup>''t''</sup>（它不能是零），得：
:''be<sup>t</sup>'' = &minus;''a''
也就是说，函数''be''<sup>''t''</sup>与''t''一定是独立的，这只能在''b''&nbsp;=&nbsp;0时出现。可推出''a''也一定是零。

==例子3==

'''R'''<sup>4</sup>内的以下向量是线性相关的。
:<math>
\begin{matrix}
\\
    \begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix},
    \begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix},
    \begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}
\\
\\
\end{matrix}
</math>
===证明===

我们需要求出标量<math>\lambda_1</math>、<math>\lambda_2</math>和<math>\lambda_3</math>，使得：

:<math>
\begin{matrix}
\\
\lambda_1  \begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}+
\lambda_2  \begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}+
\lambda_3  \begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}=
           \begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}.
\end{matrix}
</math>

可以形成以下的[[方程组]]：

:<math>
\begin{align}
  \lambda_1& \;+  7\lambda_2& &- 2\lambda_3& = 0\\
 4\lambda_1& \;+ 10\lambda_2& &+  \lambda_3& = 0\\
 2\lambda_1& \;-  4\lambda_2& &+ 5\lambda_3& = 0\\
-3\lambda_1& \;-   \lambda_2& &- 4\lambda_3& = 0\\
\end{align}
</math>

解这个方程组（例如使用[[高斯消元法]]），可得：
:<math>
\begin{align}
  \lambda_1 &= \lambda_1  \\
  \lambda_2 &= (-\lambda_1)/3  \\
  \lambda_3 &= (-2\lambda_1)/3.  \\
\end{align}
</math>

由于它们都是[[非平凡解]]，因此这些向量是线性相关的。
==参考文献==
*[[Siegfried Bosch]]: ''Lineare Algebra.'' 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5, Kapitel 1.5.

{{线性代数的相关概念}}
[[Category:線性代數|X]]