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{{NoteTA
|G1=Physics
}}
'''線性化重力'''（{{lang-en|Linearized gravity}}）是[[廣義相對論]]中一個近似方案，其忽略[[時空]][[度規張量]]的非線性貢獻。這使得許多研究問題得以簡化。

== 方法 ==
線性化重力中，時空[[度規張量]]<math>g</math>處理為[[愛因斯坦場方程式]]的一個解（通常是[[閔可夫斯基時空]]）與一[[微擾理論|微擾項]]<math>h</math>兩者之和：
:<math>g \, =\eta+h</math>

其中&eta;是非動態的背景度規，而被微擾了<math>h</math>——代表真實度規g自[[閔可夫斯基時空|平直時空]]&eta;偏移了多少。

微擾項的處理是採用[[微擾理論]]的方法。形容詞「線性化」表示對h作展開式，超過1次方（線性項）以上的微擾項（h的[[二次方]]項、h的[[三次方]]項等等……）被忽略。

==線性化重力下的[[愛因斯坦重力場方程式]]<ref>{{cite book |last1=Misner |first1=Charles |author-link1=Charles Misner |last2=Thorne |first2=Kip |author-link2=Kip Thorne |last3=Wheeler |first3=John |author-link3=John Wheeler |date=2017 |title=Gravitation |url=https://press.princeton.edu/books/hardcover/9780691177793/gravitation |publisher=Princeton University Press |isbn=9780691177793 |access-date=2024-05-11 |archive-date=2024-02-27 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240227130532/https://press.princeton.edu/books/hardcover/9780691177793/gravitation |dead-url=no }}</ref>==

已知
<math display="block">
g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}
</math>

因此，[[克里斯托費爾符號]]可以被寫為

<math display="block">
\Gamma^{\alpha}_{\beta\gamma}=\frac{1}{2}\eta^{\alpha\delta}(\partial_{\beta}h_{\delta\gamma}+\partial_{\gamma}h_{\beta\delta}-\partial_{\delta}h_{\beta\gamma})+\mathcal{O}(|h|)
</math>

由於[[黎曼曲率張量]]可以被表達成

<math display="block">
R^{a}_{bcd}=\partial_{c}\Gamma^{a}_{bd}-\partial_{d}\Gamma^{a}_{bc}+\Gamma^{a}_{cm}\Gamma^{m}_{bd}-\Gamma^{a}_{dm}\Gamma^{m}_{bc}
</math>

因此，[[里奇曲率張量]]可被寫為

<math display="block">
\begin{align}
R_{\mu\nu}&=\partial_{\alpha}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}-\partial_{\nu}\Gamma^{\alpha}_{\mu\alpha}\\
&=\frac{1}{2}\{h^{\alpha}_{\ \nu,\mu\alpha}+h^{\alpha}_{\ \mu,\nu\alpha}-h_{\mu\nu,\alpha}^{\ \ \ \ \ \alpha}-h^{\alpha}_{\ \alpha,\mu\nu}-h^{\alpha}_{\ \mu,\alpha\nu}+h_{\mu\alpha,\nu}^{\ \ \ \ \ \alpha}\}
\end{align}
</math>

因此，[[愛因斯坦張量]] 與[[愛因斯坦重力場方程式]]可被寫為

<math display="block">
\begin{align}
G_{\mu\nu}&=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\\
&=\frac{1}{2}\{\partial_{\mu}\partial_{\alpha}h^{\alpha}_{\ \nu}+\partial_{\nu}\partial_{\alpha}h^{\alpha}_{\ \mu}-\partial_{\alpha}\partial^{\alpha}h_{\mu\nu}-\partial_{\mu}\partial_{\nu}h\}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}(\partial_{\alpha}\partial_{\beta}h^{\alpha\beta}-\partial_{\alpha}\partial^{\alpha}h)\\
&=8\pi T_{\mu\nu}
\end{align}
</math>

若選擇適當的[[規範場論|規範]]，線性化重力場的愛因斯坦場方程可以被寫為一個二階的波方程式。





{{廣義相對論}}
{{重力理論}}
{{physics-stub}}

[[Category:廣義相對論的數學方法|X]]