查看“︁維廷格函數不等式”︁的源代码

{{No footnotes|time=2021-07-07T04:04:54+00:00}}
<!--對另一條以維廷格為名的不等式，見:en: Wirtinger inequality (2-forms)-->
數學上，實函數的'''維廷格不等式'''是[[傅里叶分析]]中的一條[[不等|不等式]]，得名於{{link-de|威廉·维廷格|Wilhelm Wirtinger}}。1904 年，其用作證明[[等周定理|等周不等式]]。若干相關變式也稱作維廷格不等式。

==定理==
===第一形式===
設 <math>f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> 為週期 2π 的[[周期函数]]，其在 '''R''' 上連續，並有連續導數，且滿足

:<math>\int_0^{2\pi}f(x) \, dx = 0.</math>

則

:<math>\int_0^{2\pi}f'^2(x) \, dx \ge \int_0^{2\pi}f^2(x) \, dx</math>

其中等號成立[[當且僅當]] ''f''(''x'') = ''a'' sin(''x'') + ''b'' cos(''x'') 對某些 ''a'' 和 ''b'' 成立（換言之，對某些 ''c'' 和 ''d'', 有 ''f''(''x'') = ''c'' sin (''x'' + ''d'') ）。

此形式的維廷格不等式即是一維情形下的[[庞加莱不等式]]，並且具有最優的常數（龐加萊常數）。

===第二形式===
以下相關的不等式也稱為維廷格不等式：{{harv|Dym|McKean|1985}}:

若  ''f'' 為 C<sup>1</sup> 函數（即連續並具有連續導數）使得 ''f''(0)&nbsp;=&nbsp;''f''(''a'')&nbsp;=&nbsp;0, 則

:<math>\pi^{2}\int_0^a |f|^2 \le a^2 \int_0^a|f'|^2.</math>

此形式的維廷格不等式即是一維的{{link-en|弗里德里希不等式|Friedrichs' inequality}}。

===證明===
兩者證明類似。以下給出第一條不等式的證明。由於 ''f'' 滿足[[狄利克雷定理 (傅里叶级数)|狄利克雷條件]]，有傅立葉展開

:<math>f(x)=\frac{1}{2}a_0+\sum_{n\ge 1}\left(a_n\frac{\sin nx}{\sqrt{\pi}}+b_n\frac{\cos nx}{\sqrt{\pi}}\right).</math>

由於 ''f'' 的積分為零，有 ''a''<sub>0</sub> = 0. 又由[[帕塞瓦尔恒等式]]，有

:<math>\int_0^{2\pi}f^2(x)dx=\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)</math>

和

:<math>\int_0^{2\pi}f'^2(x) \, dx = \sum_{n=1}^\infty n^2(a_n^2+b_n^2).</math>

各項中 <math> (a_n^2+b_n^2) </math> 非負，而 ''n''<sup>2</sup> ≥1，故欲證的不等式成立。等號成立當且僅當對任意的 ''n'' ≥ 2, 皆有''a<sub>n</sub>'' = ''b<sub>n</sub>'' = 0. 

==參考文獻==
*{{citation|first1=H|last1=Dym|authorlink1=Harry Dym|first2=H|last2=McKean|title=Fourier series and integrals|publisher=Academic press|year=1985|isbn=978-0-12-226451-1}}
* {{tsl|en|Paul J. Nahin||Paul J. Nahin}} (2006) ''Dr. Euler's Fabulous Formula'', page 183, [[普林斯頓大學出版社|Princeton University Press]] {{ISBN|0-691-11822-1}}

*{{tsl|en|Vadim Komkov||Komkov, Vadim}} (1983) Euler's buckling formula and Wirtinger's inequality. Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 14, no. 6, 661—668. 

{{Planetmath|urlid=wirtingersinequality|title=Wirtinger's inequality}}

[[Category:傅里叶分析]]
[[Category:不等式]]
[[Category:分析定理]]