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'''索霍茨基－魏尔斯特拉斯定理''' (亦作'''Sokhotsky–Weierstrass 定理''',  '''Sokhotski–Plemelj formula''',<ref>{{Cite book |last=Blanchard |first=Philippe |last2=Brüning |first2=Erwin |title=Mathematical Methods in Physics |location=Boston |publisher=Birkhauser |year=2003 |isbn=0817642285 }} Example 3.3.1 4.</ref> 或 '''魏尔斯特拉斯定理'''（勿与其他同名魏尔斯特拉斯定理混淆）是[[複分析]]中的一个[[定理]]，用于计算很多问题中出现的[[柯西主值]]。物理学问题中很多见，但鲜有其命名的引用。该定理源自[[Yulian Vasilievich Sokhotski|Julian Sokhotski]], [[Karl Weierstrass]]和[[Josip Plemelj]]。

== 定理陈述 ==

令''&fnof;''为定义在实数轴上的[[连续函数]]，''a''与''b''为实常数，满足''a''&nbsp;<&nbsp;0&nbsp;<&nbsp;''b''。则

:<math>\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b \frac{f(x)}{x\pm i \varepsilon}\,dx = \mp i \pi f(0) + \mathcal{P}\int_a^b \frac{f(x)}{x}\, dx,</math>

其中<math>\mathcal{P}</math>表示[[柯西主值]]。

== 定理证明 ==

简单证明如下：

:<math>
\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b \frac{f(x)}{x\pm i \varepsilon}\,dx = \mp i \pi \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b \frac{\varepsilon}{\pi(x^2+\varepsilon^2)}f(x)\,dx + \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b  \frac{x^2}{x^2+\varepsilon^2} \, \frac{f(x)}{x}\, dx.</math>

注意到第一项 <math>\varepsilon/(\pi(x^2+\varepsilon^2))</math> 为[[狄拉克δ函数]]之先趨函數，在此极限下趋近狄拉克δ函数。 因此第一项等于 <math>\mp i \pi f(0)</math>.

第二项，注意到因子在当 |''x''|&nbsp;>>&nbsp;ε时，<math>x^2/(x^2+\varepsilon^2)</math>趋近于1；当|''x''|&nbsp;<<&nbsp;ε时趋近于0并关于零对称。 因此极限下为[[柯西主值]]积分。

== 物理应用 ==

在[[量子力学]]和[[量子场论]]中，经常需要计算如下形式的积分：

:<math>\int_{-\infty}^\infty \int_0^\infty f(E)\exp(-iEt)\,dt\, dE,</math>

其中''E''为能量，''t''为时间。 上式对时间积分不收敛，因此一般需为''t''加入一个负的常系数，然后再令其趋于0。

:<math>\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_{-\infty}^\infty \int_0^\infty f(E)\exp(-iEt-\varepsilon t)\,dt\, dE </math>

::<math>= -i \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_{-\infty}^\infty \frac{f(E)}{E-i\varepsilon}\,dE = \pi f(0)-i \mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(E)}{E}\,dE,</math>
其中最后一步用到了该定理。

在[[等离子体物理]]中，推导[[朗道阻尼]]的过程中使用到该定理，从而揭示了波在无碰撞过程中亦存在阻尼现象。

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* {{cite book | authorlink=Steven Weinberg | author=Weinberg, Steven | title=The Quantum Theory of Fields, Volume 1: Foundations | publisher=Cambridge Univ. Press | year=1995 | isbn=0-521-55001-7}} Chapter 3.1.
* {{cite book | author=Merzbacher, Eugen | title=Quantum Mechanics | url=https://archive.org/details/quantummechanics0000merz | publisher=Wiley, John & Sons, Inc | year=1998 | isbn=0-471-88702-1}} Appendix A, equation (A.19).

===提及该定理名称的引用===
* [http://books.google.com/books?id=FL_u_J05qVEC&pg=PA60&lpg=PA60&dq=%22sokhotsky+weierstrass%22&source=web&ots=8yD1GxfjRJ&sig=ghjn35OX-bcW1MFLd_oBLbWczgs&hl=en ''Quantum Theory of Many-body Systems: Techniques and Applications'' by Alexandre M. Zagoskin, p60]
* [http://arxiv.org/abs/nucl-th/0212062 Relativistic effects in proton-induced deuteron break-up at intermediate energies with forward emission of a fast proton pair]
* [http://books.google.com/books?id=hB84gN0fmh8C&pg=PA259&lpg=PA259&dq=sokhotsky-weierstrass&source=web&ots=RLL0oRmps3&sig=P8SfPatLaSYtt-N9iTvApvQg_pA&hl=en ''Two-dimensional Coulomb Liquids and Solids'', Yuriy Monarkha, p259]

[[Category:复分析定理]]