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'''糾纏譜''' (entanglement spectrum) 是一个由 Li 和 Haldane 在2008年提出的[[量子力学]]概念<ref>Hui Li and F. D. M. Haldane, Entanglement Spectrum as a Generalization of Entanglement Entropy: Identification of Topological Order in Non-Abelian Fractional Quantum Hall Effect States, [http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.101.010504 Phys. Rev. Lett. '''101''', 010504 (2008)]</ref>，可作為[[糾纏熵]]的推廣，用來分析量子多體系統的[[波函數]]。'''糾纏譜'''的數學定義是
:<math>\xi_i=-\ln\omega_i</math>
其中<math>\omega_i</math>是[[約化密度矩陣]]的第<math>i</math>個[[本徵值]]。

==簡介==
討論量子糾纏的時候，經常把一個量子系統區分成 A 和 B 兩個子系統，量子糾纏則是探討 A 和 B 之間的量子關聯性。假設總系統的歸一化波函數可以寫成
:<math>|\psi\rangle=\sum_{i\in A}\sum_{k\in B}\phi_{ik}|i\rangle |k\rangle</math>
雖然總系統的[[密度矩陣]] <math>\rho=|\psi\rangle\langle\psi|</math> 是一個[[純態]]，但是經過'''部分跡'''子系統 B 的自由度之後，得到的'''約化密度矩陣''' <math>\rho_A=\mathrm{tr}_B\rho</math> 可能是一個[[混合態]]，即 <math>\rho_A^2\neq\rho_A</math>。
這個'''部分跡'''「<math>\mathrm{tr}_B</math>」是指只[[跡]]子系統 B 的自由度的操作，其結果仍是一個矩陣，矩陣大小變為子系統 A 的自由度的大小。'''約化密度矩陣'''的矩陣元是
:<math>[\rho_A]_{ij}=\sum_k\phi_{ik}^*\phi_{jk}</math>
可以看出'''約化密度矩陣'''是一個[[埃爾米特矩陣|厄米矩陣]]，<math>[\rho_A]_{ji}^*=[\rho_A]_{ij}</math>，所以 <math>\rho_A</math> 的[[本徵值]]必為實數。由於 <math>\rho_A</math> 可能是一個[[混合態]]，這表示當總系統是<math>|\psi\rangle</math>這個狀態時，如果測量只發生在子系統 A，則會得到許多不同可能的結果，這些不同的結果相對應的機率就是 <math>\rho_A</math> 的[[本徵值]] <math>\omega_i</math>，滿足[[特徵值和特徵向量|本徵值方程式]] <math>\rho_A|\omega_i\rangle=\omega_i|\omega_i\rangle</math>。由於總系統波函數是歸一化的，<math>\langle\psi|\psi\rangle=1</math>，可推得所有的本徵值的總和也是歸一化的。
:<math>\sum_i\omega_i=1</math>
<math>\omega_i</math> 也有'''機率'''的意義。一個只作用在 A 的測量量 <math>O_A</math> 的期望值就是把子系統在各個本徵態的期望值 <math>\langle\omega_i|O_A|\omega_i\rangle</math>，和子系統對應在那個本徵態的機率 <math>\omega_i</math>，相乘之後的總和，
:<math>\langle O_A\rangle=\mathrm{tr}(\rho_AO_A)=\sum_i\omega_i\langle\omega_i|O_A|\omega_i\rangle</math>
A 和 B 之間的糾纏的程度大小，可以從 <math>\omega_i</math> 的分布觀察得到，例如：若所有的本徵態的機率皆相等，<math>\omega_1=\omega_2=\cdots</math>，則 A 和 B 是最大可能的糾纏狀態。另一個極限是，若只有其中一個本徵值為 1，<math>\omega_1=1</math>，其餘本徵值皆為 0，<math>\omega_2=\omega_3=\cdots=0</math>，那麼測量子系統 A 也只會得到一種可能，這表示 A 和 B 沒有任何糾纏。「[[糾纏熵]]」正是可以很好的刻畫這樣的性質，不過[[糾纏熵]]把本徵值的分佈濃縮成一個數值，'''糾纏譜'''則是直接觀察 <math>\rho_A</math> 的本徵值的分佈，然而'''糾纏譜'''的定義讓單純的機率分佈和'''能譜'''有更巧妙的關聯和意義。


在[[量子統計力學]]中，考慮一個[[正則系綜]]的混合態密度矩陣 <math>\rho=e^{-\beta H}/Z</math>，其中 <math>\beta=1/k_BT</math> 是溫度的倒數，<math>k_B</math> 是[[波茲曼常數]]，<math>Z=\mathrm{tr}(e^{-\beta H})</math>是[[配分函數]]，<math>H</math> 是系統的[[哈密顿算符]]。既然'''約化密度矩陣''' <math>\rho_A</math> 是一個混合態，那麼將它類比成一個熱力學平衡時，[[溫度]]為 <math>\beta=1</math> 的熱態 <math>\rho_A=e^{-H_E}</math>，可以定義出一個假想的[[哈密顿算符]] <math>H_E</math>，這個 <math>H_E</math> 是只作用在子系統 A 上的算符，稱為'''糾纏哈密顿算符'''(Entanglement Hamiltonian)，而 <math>H_E</math> 的本徵值 <math>\xi_i</math> 就稱為'''糾纏譜'''，滿足 <math>H_E|\omega_i\rangle=\xi_i|\omega_i\rangle</math>，所以'''糾纏譜'''和 <math>\omega_i</math> 的關係是 <math>\omega_i=e^{-\xi_i}</math> 或
:<math>\xi_i=-\ln\omega_i</math>
須注意'''糾纏譜'''的定義可以不討論系統的[[哈密顿算符]]，而且即使系統的[[哈密顿算符]] <math>H</math> 可寫成子系統的相加以及子系統之間的相互作用，<math>H=H_A+H_B+H_{AB}</math>，一般來說'''糾纏哈密顿算符''' <math>H_E</math> 也不會正比於子系統 A 的[[哈密顿算符]] <math>H_A</math>，<math>H_E\neq\beta H_A</math>。

==Li-Haldane猜想==

==參考文獻==
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[[Category:量子信息]]
[[Category:量子力学]]