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在[[数论]]中，'''类数公式'''涉及了许多重要的[[不变量]]，是[[数域]]到其特殊的[[戴德金zeta函数]][[赋值]]。
==类数公式的一般性陈述==
数域 ''K'' 有扩张[''K'':'''Q''']=''r''=''r''<sub>1</sub>+2''r''<sub>2</sub>,  <math>r_1</math> 为 ''K''的[[实素点]]个数,<math>2r_2</math> 为 ''K''的[[复素点]]个数. 
''K''戴德金zeta函数记为:<math> \zeta_K(s) \,</math>
则有下列[[不变量]]：
*<math>h_K</math> 为''K''的[[理想类群]]的阶
*<math>\operatorname{Reg}_K</math>  ''K''的[[素点]]
*<math>w_K</math> 为''K''的[[单位根]]个数
*<math>D_K</math>  为''K''在''K''/'''Q'''扩张的[[判别式]]
**定理1（类数公式）数域 ''K'' 的戴德金zeta函数<math> \zeta_K(s) \,</math>绝对收敛，并对复平面<math>\Re(s)>1</math>，且s =1时，只有一个极点的[[亚纯函数]]，其[[留数]]为：
:<math> \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}</math>
这是最普遍的“类数公式”。在特殊情况下，例如当K是[[分圆域]]的扩张，也有简化的类数公式。

==狄利克雷类数公式==
*以下参考达文波特。[1][[狄利克雷]]在1839年证明了第一类数公式，但它是关于[[二次型]]的类数而不是理想类的证明。设d是一个[[基本单位]]的[[判别式]]，写判别ð[[二次型]]的[[等价类]]数h为（D）。<math>\chi = \left(\!\frac{d}{m}\!\right)</math>是Kronecker符号，则χ是Dirichlet特征。记χ的LDirichlet L序列为''L''(''s'', χ)，
对于d>0，让t> 0，u>0 则满足u是最小的解Pell方程<math>t^2 - d u^2 = 4</math>，如记:<math>\epsilon = \frac{1}{2}(t + u \sqrt{d}).</math>（ε也是实2次域的[[基本单位]]或[[基本单位]]的平方），
对于d<0，记w为[[判别式]]d的[[二次型]]的自同构个数，则：
:<math>w =
\begin{cases}
2, & d < -4; \\
4, & d = -4; \\
6, & d = -3.
\end{cases}
</math>
然后[[狄利克雷]]证明出：
:<math>h(d)=
\begin{cases}
\frac{w \sqrt{|d|}}{2 \pi} L(1,\chi), & d < 0; \\
\frac{\sqrt{d}}{\ln \epsilon} L(1,\chi), & d > 0.
\end{cases}</math>
这是上述定理1一个特殊情况：只对一个[[二次域]]K[[戴德金]][[zeta函数]]的结论：<math>\zeta_K(s) = \zeta(s) L(s, \chi)</math>, 留数为<math>L(1,\chi)</math>.狄利克雷也证明了，[[L序列]]可以写成有限形式，从而[[类数]]也可以写成有限形式。类数有限的形式为：
:<math> L(1, \chi) =
\begin{cases}
-\frac{\pi}{|d|^{3/2}}\sum_{m=1}^{|d|} m \left( \frac{d}{m} \right), & d < 0; \\
-\frac{1}{d^{1/2}}\sum_{m=1}^{d} \left( \frac{d}{m} \right) \ln \sin \frac{m\pi}{d} , & d > 0.
\end{cases}</math>

==参考文献==
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* {{cite book | author=W. Narkiewicz | title=Elementary and analytic theory of algebraic numbers | url=https://archive.org/details/elementaryanalyt0000nark | edition=2nd ed | publisher=Springer-Verlag/Polish Scientific Publishers PWN | year=1990 | isbn=3-540-51250-0 | pages=[https://archive.org/details/elementaryanalyt0000nark/page/324 324]–355 }}
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