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在[[範疇論]]中，'''米田引理'''斷言一個對象<math>X</math>的性質由它所表示的函子<math>\mathrm{Hom}(X,-)</math>或<math>\mathrm{Hom}(-,X)</math>决定。此引理得名于日本數學家暨計算機科學家[[米田信夫]]。

==陳述==
設<math>\mathcal{C}</math>為一[[範疇 (數學)|範疇]]，定義兩個[[函子範疇]]如下：
: <math>\mathcal{C}^\wedge := \mathrm{Fct}(\mathcal{C}, \mathbf{Set})</math>
: <math>\mathcal{C}^\vee := \mathrm{Fct}(\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set})</math>

並定義兩個[[函子]]：
: <math>h_\mathcal{C}(X) = h_X := \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-,X)</math>
: <math>k_\mathcal{C}(X) = k_X := \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X,-)</math>
其中<math>h_\mathcal{C} : C \to \mathcal{C}^\wedge</math>而<math>k_\mathcal{C}: C \to \mathcal{C}^\vee</math>。

米田引理的抽象陳述如下：

'''米田引理'''。有自然的同構
: <math>\forall X \in \mathcal{C}, A \in \mathcal{C}^\wedge \quad \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}^\wedge}(h_X, A) \simeq A (X)</math>
: <math>\forall X \in \mathcal{C}, B \in \mathcal{C}^\vee \quad \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}^\vee}(k_X, B) \simeq B (X)</math>
這兩個同構對所有變元<math>A, B, X</math>都滿足函子性。

對任一對象<math>Y \in \mathcal{C}</math>，在上述同構中分別取<math>A = h_Y, B = k_Y</math>，便得到米田引理最常見的形式：

'''推論'''。函子<math>h_\mathcal{C} : C \to \mathcal{C}^\wedge</math>與<math>k_\mathcal{C}: C \to \mathcal{C}^\vee</math>是[[完全忠實函子|完全忠實]]的。

==應用==
{{further|可表函子}}
由上述推論，範疇中的對象<math>X</math>由它所表示的函子<math>h_X</math>或<math>k_X</math>唯一確定（至多差一個同調），這是[[可表函子]]理論的根基所在。例如在[[代數幾何]]中，一個常見的技術是將概形等同於它所代表的函子，後者往往具有直觀的幾何詮釋，技術上亦較容易處理；另一方面，我們也往往從函子的觀點研究空間的商、極限或者是模空間問題，第一步是定義適當的「函子解」，其次再研究它可表與否。[[代數拓撲]]中的[[分類空間]]也是可表函子概念的體現。

==文獻==
* Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, ''Categories and Sheaves'', Springer. ISBN 3540279490
==外部連結==
* [https://web.archive.org/web/20070402075309/http://www.institut.math.jussieu.fr/~schapira/polycopies/Sta.pdf Pierre Schapira, Categories, sites, sheaves and stacks] 

[[Category:範疇論|M]]
[[Category:引理]]